単位円上の点と 3 の距離、最大と最小のとり方
を満たす に対して、 がとりうる値の範囲は 以上 以下です。
計算に入る前に、図を見れば答えが出ています。 は原点を中心とする半径 の円、 はその円上の点と点 との距離。円周を一周させれば、いちばん近づく位置といちばん離れる位置は目で決まる。
いちばん近いのは のときで距離は 、いちばん遠いのは のときで距離は です。下のバーが と のあいだを往復している。
中心までの距離と半径で決まる
この と は、点 から円の中心である原点までの距離 を、半径 だけ縮めた値と伸ばした値になっています。
円の外にある点から円周を眺めると、最短は中心へ向かう直線が円と交わる手前の点、最長は同じ直線が円を突き抜けた先の点。どちらも中心・円周上の点・外の点が一直線に並んだときです。
式でも同じ答えになる
図で決めた値を、計算でも確かめておく。絶対値の 2 乗を展開します。
と を入れると、実部だけが残ります。
は単位円上を動くので は から まで。すると は から までを動き、平方根をとって から までになります。
とおいて に対する距離を描くと、 と のあいだで揺れる曲線が出ます。天井と床に触れるのが と のとき。
円と点の一般形
半径や中心を変えても、決まり方は同じです。 の上を動く と、定点 との距離を考えます。
最小に絶対値が付いているのは、 が円の内側に入る場合があるためです。外にあれば 、内にあれば が最小になる。
半径をふくらませていくと、 はやがて円の内側に入ります。その瞬間に最小の意味が入れ替わり、下のバーがいったん に落ちてから伸び直す。 が円周に乗っている一瞬だけ、最小距離が になります。
数を入れて練習する
中心と半径さえ読めれば、あとは足し引きです。 のときの を考えます。
条件は中心 、半径 の円。 は原点との距離なので、中心と原点の距離 が効いてきます。 はおよそ で半径 より小さく、原点は円の内側。
外側の例も見ておきます。 のときの なら、中心 、半径 、点 との距離は 。半径より大きいので点は円の外にあり、最大は 、最小は です。
内か外かを最初に判定する。この一手を飛ばすと、最小の符号だけをとり違えます。
動く点が 2 つのとき
, で の範囲を求める問題も、同じ考え方でさばけます。
を固定して を動かすと、 は から まで。 をどこに固定しても中心からの距離は のままなので、この範囲は変わりません。答えは 以上 以下になる。
三角不等式で挟む
図を使わずに範囲を出す道もあります。 のとき
が上から、
が下から効きます。得られる と は図から読んだ値と一致する。
この道筋の利点は、等号が成り立つ条件まで一緒に出てくることです。上の等号は と が同じ向きのとき、つまり 。下の等号は が と同じ向き、つまり のときです。図で見た最遠点と最近点が、そのまま条件として出てくる。
どちらから入っても同じ
範囲を問われたら、まず円を描く。中心までの距離と半径が見えた時点で、最大と最小はほぼ決まります。
計算は答え合わせに使えばよく、 の展開か三角不等式のどちらかで足ります。図で見当をつけてから式に落とす順番が、いちばん間違えにくい。
