一直線に並ぶ条件、直角に交わる条件はどう書けるか

3 点 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ が一直線に並ぶのは、 $\frac{γ - α}{β - α}$ が実数のときです^[1]。

同じ式が純虚数なら、 $α β$ と $α γ$ は直角に交わります^[1]。

判定はどちらも 1 つの商で済みます。角度を測らずに、実数か純虚数かを見るだけ。

商の偏角が角度を測っている

$β - α$ は $α$ から $β$ への矢印、 $γ - α$ は $α$ から $γ$ への矢印です。

割り算は偏角の引き算なので、この商の偏角は 2 本の矢印がなす角そのものになります^[3]。

$ar g \frac{γ - α}{β - α} = ∠ β α γ$

角が $0^{\circ}$ か $18 0^{\circ}$ なら商は実軸に乗り、 $\pm 9 0^{\circ}$ なら虚軸に乗ります。実数と純虚数という言い方は、角度の言いかえです。

2 本の矢印を引き算でつくる

一方をもう一方で割る

実軸に乗るか虚軸に乗るかを見る

共線条件を式で書く

$w$ が実数であることは $w = \overset{w}{ˉ}$ と書けます^[1]。これを商に当てはめる。

$\frac{γ - α}{β - α} = \overline{(\frac{γ - α}{β - α})} = \frac{γ ˉ - α ˉ}{β ˉ - α ˉ}$

分母を払うと、共役を含む 1 本の等式になります。座標に落とさずに扱えるので、そのまま計算を進められる。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… linePoint[index][2] …)

例：3 点が一直線か調べる

$α = 1 + i$ 、 $β = 3 + 2 i$ 、 $γ = 7 + 4 i$ とします。

$β - α = 2 + i$ 、 $γ - α = 6 + 3 i$ です。後者は前者の $3$ 倍そのもの。

$\frac{γ - α}{β - α} = \frac{6 + 3 i}{2 + i} = 3$

実数なので一直線です。 $3$ という値は、 $α γ$ が $α β$ の $3$ 倍の長さで同じ向きだと言っています。

$γ$ を $7 + 5 i$ に変えると、商は $\frac{16 + 2 i}{5}$ になって実軸から外れます。並びません。

例：一直線になるよう定数を決める

$α = 1$ 、 $β = 2 + i$ 、 $γ = k + 3 i$ が一直線になる実数 $k$ を求めます。

$β - α = 1 + i$ 、 $γ - α = k - 1 + 3 i$ です。商の分母を実数化する。

$\frac{( k - 1 + 3 i ) ( 1 - i )}{2} = \frac{( k + 2 ) + ( 4 - k ) i}{2}$

実数になるのは虚部が $0$ のときなので $k = 4$ 。このとき $γ - α = 3 + 3 i$ となり、 $1 + i$ の $3$ 倍です。

垂直条件を式で書く

$w$ が純虚数であることは $w + \overset{w}{ˉ} = 0$ と書けます^[1]。実部が消える条件です。

$\frac{δ - γ}{β - α} + \overline{(\frac{δ - γ}{β - α})} = 0$

$α β$ と $γ δ$ が直角に交わる条件になります^[1]。4 点が別々でよいので、共線条件より使う場面が広い。

$w = 0$ は除きます。矢印が消えると向きが決まらないためです。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… rightCorner[index][1] …)

例：直角三角形かを調べる

$α = 1 + 2 i$ 、 $β = 4 + 3 i$ 、 $γ = 5 i$ で、 $α$ の角を見ます。

$β - α = 3 + i$ 、 $γ - α = - 1 + 3 i$ です。分母を実数化して割ります。

$\frac{( - 1 + 3 i ) ( 3 - i )}{10} = \frac{- 3 + i + 9 i + 3}{10} = i$

$i$ は純虚数なので直角です。しかも絶対値が $1$ なので 2 辺の長さが等しく、直角二等辺三角形だと分かります。

商の値が $i$ そのものになると、直角と等長が一度に読める。角度と長さを別々に調べる必要がありません。

例：なす角を求める

$α = 0$ 、 $β = 1$ 、 $γ = 1 + i$ とします。 $\frac{γ - α}{β - α} = 1 + i$ です。

偏角は $4 5^{\circ}$ なので、角 $β α γ$ は $4 5^{\circ}$ 。絶対値は $2$ で、 $α γ$ が $α β$ の $2$ 倍だと分かります。

角度と長さの比が 1 つの複素数に入っている。これが座標に落とさずに済む理由です。

行列式でまとめて書く

3 点の共線条件は、行列式が $0$ になることとしても書けます^[1]。三角形の符号つき面積が $0$ になる形です^[4]。

$α β γ \overset{α}{ˉ} \overset{ˉ}{β} \overset{γ}{ˉ} 111 = 0$

商の形だと $β = α$ のときに分母が $0$ になりますが、行列式なら場合分けが要りません。3 点が重なっていても式が壊れない。

例：行列式で確かめる

さきほどの $1 + i$ 、 $3 + 2 i$ 、 $7 + 4 i$ を入れます。第 1 行を $(1 + i, 1 - i, 1)$ のようにとる形です。

展開すると $(1 + i) (- 4 + 2 i) - (1 - i) (- 4 - 2 i) + 4 i$ になり、計算すると $0$ 。一直線という判定に合いました。

商で出した $3$ という値のほうが情報量は多く、行列式は判定に徹した形になります。

一直線	$\frac{γ - α}{β - α}$ が実数
直角	$\frac{δ - γ}{β - α}$ が純虚数
実数の条件	$w = \overset{w}{ˉ}$
純虚数の条件	$w + \overset{w}{ˉ} = 0$ 、ただし $w \neq = 0$
なす角	$ar g \frac{γ - α}{β - α}$

$α = 2 + i$ 、 $β = 5 + 3 i$ 、 $γ = - 1 - i$ の 3 点はどんな関係ですか。

一直線に並ぶ
$α$ で直角に交わる
どちらでもない

__RESULT__

$β - α = 3 + 2 i$ 、 $γ - α = - 3 - 2 i$ です。商は $- 1$ で実数なので一直線に並びます。値が負なので、 $α$ は $β$ と $γ$ のあいだにある。純虚数ではないので直角にはなりません。

つまずきやすいところ

矢印を引き算でつくらずに、点の値をそのまま割る。始点をそろえて引きます。

共線条件で商が

1

になるはずだと考える。実数ならどの値でも一直線です。

純虚数の条件から

w \neq = 0

を落とす。

0

は実数でもあり、向きが決まりません。

実部が

0

かどうかを見ずに、虚部だけを見る。純虚数は実部が

0

の数です。

分母と分子を入れかえて角の向きが変わることを見落とす。符号が反転します。

矢印を 2 本つくって割る。出てきた数が実軸に乗るか虚軸に乗るかを見るだけで、平行も直角もなす角も同時に片づきます。

出典

Evan Chen. *Bashing Geometry with Complex Numbers*. 2015.

Marc Deisenroth. *Complex Numbers*. Revision Notes, Imperial College London, Department of Computing, 2017.

Jörn Dunkel, Jeremy Orloff. *18.04 Complex Analysis with Applications*. MIT, Spring 2019.

Collinear. Wolfram MathWorld.

$\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ が実数なら 3 点は一直線、純虚数なら 2 本は直角に交わります。割り算が偏角の引き算なので、この商の偏角が 2 本の矢印のなす角そのものになるため。実数は $w=\bar{w}$、純虚数は $w+\bar{w}=0$ と書き直せて、座標に落とさずに計算が進みます。$1+2i$、$4+3i$、$5i$ では商がちょうど $i$ になり、直角と 2 辺が等しいことを一度に読める。一直線になる定数の決め方と、場合分けの要らない行列式の形も並べました。