絶対値の最大値と正三角形の条件｜複素数平面の入試問題

複素数平面の出題は、絶対値の評価、回転、$n$ 乗根の $3$ か所に手が集まります。典型を $3$ 問並べ、どこで方針が決まるかを見ていきます。

問題 1 絶対値の最大値

$|z|=1$ を満たす複素数 $z$ に対して、$|z^2+z+1|$ の最大値を求めよ。

$z$ が単位円を $1$ 周するあいだに、$z^2+z+1$ は右のようなくぼんだ曲線を描きます。原点をかすめる瞬間と、いちばん外へ張り出す瞬間がある。

解き方 1

$|z|=1$ という条件は $z\bar{z}=1$、つまり $\bar{z}=\frac{1}{z}$ と書き直せます。ここが入口。

$z^2+z+1$ から $z$ をくくり出すと、この形が使えます。

$$z^2+z+1=z\left(z+1+\frac{1}{z}\right)=z(z+\bar{z}+1)$$

$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$ は実数なので、絶対値は $|z|=1$ を掛けて

$$|z^2+z+1|=|2\mathrm{Re}(z)+1|$$

$\mathrm{Re}(z)$ は $-1$ から $1$ まで動くので、中身は $-1$ から $3$ まで。絶対値の最大値は $3$ で、$z=1$ のときに実現します。

$2\mathrm{Re}(z)+1=0$ となる $\mathrm{Re}(z)=-\frac{1}{2}$ で最小値 $0$ になる。曲線が原点を通るのがこの瞬間です。

問題 2 正三角形の条件

複素数平面上の $3$ 点 $0$, $\alpha$, $\beta$ が正三角形をなすとき、次が成り立つことを示せ。

$${\alpha }^2+{\beta }^2=\alpha \beta$$

三角形は原点を頂点のひとつに持ったまま、全体として回っています。どの向きに回っても関係式は崩れません。$\alpha$ と $\beta$ の比だけで決まる条件だからです。

解き方 2

正三角形なので、$\beta$ は $\alpha$ を原点まわりに $\pm 60$ 度回したもの。

$$\beta =\alpha \omega ,\omega =\cos \frac{\pi }{3}\pm i\sin \frac{\pi }{3}$$

この $\omega$ は $\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ で、$2$ 次方程式 ${\omega }^2-\omega +1=0$ の解です。$\omega$ の満たす関係を使えるようにしておくのが要点。

$\beta =\alpha \omega$ を代入して整理します。

$${\alpha }^2+{\beta }^2-\alpha \beta ={\alpha }^2(1+{\omega }^2-\omega )$$

括弧の中は ${\omega }^2-\omega +1$ そのもので $0$。よって ${\alpha }^2+{\beta }^2=\alpha \beta$ が示せました。

$\pm$ のどちらでも ${\omega }^2-\omega +1=0$ が成り立つので、場合分けは要りません。

問題 3 7 乗根の組み分け

$z^7=1$, $z\ne 1$ とする。$A=z+z^2+z^4$, $B=z^3+z^5+z^6$ について、$A+B$ と $AB$ を求めよ。

$7$ 個の点を $2$ 組に分け、それぞれ矢印を継いでいきます。$2$ つの終点は実軸に関して対称。$A$ と $B$ が互いに共役だと図から読めます。

解き方 3

$A+B$ は $z$ から $z^6$ までの総和です。$1$ の $7$ 乗根の総和が $0$ なので、$1$ を除いた $6$ 個の和は $-1$。

$$A+B=z+z^2+\cdots +z^6=-1$$

積のほうは、$9$ 個の項を素直に展開します。$z^7=1$ を使うと指数が $7$ を超えたものは折り返せる。

$z\cdot z^6$, $z^2\cdot z^5$, $z^4\cdot z^3$ の $3$ つが $1$ になり、残る $6$ 項は $z$ から $z^6$ をちょうど $1$ 回ずつ拾います。

$$AB=3+(z+z^2+\cdots +z^6)=3-1=2$$

和が $-1$、積が $2$ なので、$A$ と $B$ は $t^2+t+2=0$ の $2$ 解。求めると $\frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}$ になります。

共通する手は 3 つ

$3$ 問とも、入口は同じ場所にありました。

見た目が違っても、使う道具はこの $3$ つに戻ってきます。問題を読んだら、まず条件がどれに触れているかを探す。そこが決まれば、あとは計算するだけになります。