中心をずらして回す〜複素数平面の回転公式の作り方

点 $\alpha$ を中心に、点 $z$ を角 $\theta$ だけ回した先は次の式で出ます。

$$w=\alpha +(z-\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$$

引いて、掛けて、足す。原点まわりなら掛け算だけで済むところに、$\alpha$ の出し入れが前後に付きます^[1]。

原点まわりは掛け算だけ

絶対値 $1$ の複素数を掛けると、点は原点を中心に回ります^[2]。

$$(\cos \theta +i\sin \theta )z$$

絶対値どうしが掛かり、偏角どうしが足される。掛ける側の絶対値が $1$ なので長さは動かず、偏角だけが $\theta$ 増えます^[4]。

回転の中心が原点に固定されるのは、原点だけが $0$ を掛けても $0$ のまま動かないためです。ほかの点はすべて動きます。

中心を原点へ運ぶ

中心が $\alpha$ のときは、まず全体を平行移動して $\alpha$ を原点へ持っていきます。

複素数のひき算は、ベクトルのひき算にあたります^[3]。$z-\alpha$ は、$\alpha$ から $z$ へ向かう矢印そのもの。

矢印だけを回してから、$\alpha$ を足して元の位置へ戻す。3 段の手順になります。

矢印の始点が原点へ来た瞬間だけ、掛け算が回転として働きます。戻すのを忘れると、図形ごと原点付近へ寄ってしまう。

例：$1+i$ を $2$ のまわりに 90 度回す

$\alpha =2$、$z=1+i$、$\theta =90^{\circ }$ とします。$\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=i$ なので、掛けるのは $i$ だけ。

$$w=2+(1+i-2)i=2+(-1+i)i$$

$(-1+i)i=-i+i^2=-1-i$ です。

$$w=2+(-1-i)=1-i$$

$1-i$ が答えになります。$2$ から $1+i$ までの距離は $\sqrt{2}$、$2$ から $1-i$ までの距離も $\sqrt{2}$ で、長さが保たれている。

例：正三角形の残りの頂点

$\alpha =0$、$\beta =3$ を 2 頂点とする正三角形の、第 3 の頂点を出します。

$\beta$ を $\alpha$ のまわりに $60^{\circ }$ 回せば届く。$\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ です。

$$\gamma =0+(3-0)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$

$-60^{\circ }$ 回せば $\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$ になります。正三角形は 2 つできる。

例：角度の符号

$\theta$ が正なら反時計回り、負なら時計回りです。虚軸が上を向く向きにそろえた結果になります。

時計回りに $30^{\circ }$ 回すなら $\theta =-30^{\circ }$ とし、$\cos (-30^{\circ })+i\sin (-30^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$ を掛ける。

符号を逆にすると、答えが中心をはさんで反対側へ行きます。図を粗く描いておくと、このとり違えはすぐ見つかる。

例：2 回続けて回す

$\alpha$ のまわりに ${\theta }_1$ だけ回し、続けて同じ $\alpha$ のまわりに ${\theta }_2$ だけ回します。

掛ける複素数が $(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ になり、偏角が足されます。合計は ${\theta }_1+{\theta }_2$ の回転^[2]。

同じ中心まわりなら順番を変えても同じ点に着きます。中心が違うと、順番で結果が変わる。

例：中心が違う 2 つの回転

$0$ のまわりに $90^{\circ }$ 回してから $1$ のまわりに $90^{\circ }$ 回す場合と、順番を入れかえた場合を、$z=1$ で比べます。

前者は $1\to i\to 1+(i-1)i=1+(-1-i)=-i$。後者は $1\to 1\to i$ です。着く先が違います。

平行移動の成分が残るためで、2 つを合わせた変換は $180^{\circ }$ の回転になります。中心は別の場所へ移る。

例：回転の中心を求める

$w=iz+1-i$ という対応が与えられたとき、どこを中心とする何度の回転かを読みます。

中心は動かない点なので、$z=iz+1-i$ を解けばよい。$z(1-i)=1-i$ から $z=1$ です。

掛かっている $i$ の偏角が $90^{\circ }$、絶対値が $1$。よって $1$ を中心とする $90^{\circ }$ の回転になります^[1]。

例：正方形の頂点をたどる

正方形の中心が $1+i$、頂点の 1 つが $3+2i$ とします。残りの頂点は $90^{\circ }$ ずつ回して出ます。

$3+2i-(1+i)=2+i$ を $i$ 倍すると $-1+2i$、中心を足して $1+i+(-1+2i)=3i$ です。

同じ操作を続けると $-1$、$2-i$ と並び、4 回目で $3+2i$ に戻ります。一周して閉じることが検算になる。

検算

中心から元の点までの距離と、中心から答えまでの距離が等しいかを見ます。回転は長さを変えません。

$180^{\circ }$ なら中心が 2 点の中点になり、$90^{\circ }$ なら中心と 2 点が直角二等辺三角形をつくる。特別な角では図で確かめられます。

引いて、回して、足す。この 3 段さえ崩さなければ、中心がどこにあっても同じ手順で片づきます。

参考文献