3 乗して 8i になる数はいくつあるか（複素数の n 乗根）

$z^3=8i$ をみたす $z$ は 3 つあります。$\sqrt{3}+i$、$-\sqrt{3}+i$、$-2i$ です。

$0$ でない複素数の $n$ 乗根は、ちょうど $n$ 個^[3]。実数の範囲では 1 つか 2 つしかなかったものが、複素数まで広げると本数がそろいます。

極形式に直してから割る

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおくと、$n$ 乗は絶対値が $n$ 乗、偏角が $n$ 倍になります。

$$z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$$

これを $R(\cos \phi +i\sin \phi )$ に等しいと置きます。絶対値は正の数どうしなので $r=\sqrt[n]{R}$ で一意に決まる。

偏角のほうは $1$ 周ぶんのずれを許すので、$n\theta =\phi +360^{\circ }k$ となります^[1]。

$$\theta =\frac{\phi +360^{\circ }k}{n}$$

$k$ を $0$ から $n-1$ まで動かすと、違う点が $n$ 個出ます。$k=n$ で最初へ戻るので、それ以上は増えません^[4]。

例：$z^3=8i$ を解く

$8i$ の絶対値は $8$、偏角は $90^{\circ }$ です。

絶対値は $\sqrt[3]{8}=2$。偏角は $\frac{90^{\circ }+360^{\circ }k}{3}=30^{\circ }+120^{\circ }k$ になります。

$k=0,1,2$ を入れると $30^{\circ }$、$150^{\circ }$、$270^{\circ }$ です。

$$2(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ })=\sqrt{3}+i$$

残りは $2(\cos 150^{\circ }+i\sin 150^{\circ })=-\sqrt{3}+i$ と、$2(\cos 270^{\circ }+i\sin 270^{\circ })=-2i$。

$(\sqrt{3}+i{)}^3$ を展開すると $8i$ に戻ります。3 つとも半径 $2$ の円の上に乗る。

解は正 $n$ 角形に並ぶ

$k$ が $1$ 増えるごとに偏角が $\frac{360^{\circ }}{n}$ ずつ増えます。絶対値は変わりません。

半径 $\sqrt[n]{R}$ の円周を $n$ 等分した位置に、解がきれいに並ぶ^[4]。$n=3$ なら正三角形、$n=4$ なら正方形です。

図を先に描いておけば、1 つ求めた時点で残りの位置が読めます。計算より作図のほうが速いこともある。

1 つ見つければ残りは回すだけ

解を 1 つ $z_0$ とすると、残りは $z_0$ に $\frac{360^{\circ }}{n}$ の回転を掛けたものになります。

$n$ 乗して $1$ になる数を順に掛けていく形です^[2]。$z_0$、$z_0\omega$、$z_0{\omega }^2$ と並ぶ。

暗算で 1 つ見つかる場合は、この方法が速い。$z^4=16$ なら $z_0=2$ がすぐ見えます。

例：$z^4=-4$

$-4$ の絶対値は $4$、偏角は $180^{\circ }$ です。

絶対値は $\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$。偏角は $\frac{180^{\circ }+360^{\circ }k}{4}=45^{\circ }+90^{\circ }k$ になります。

$45^{\circ }$、$135^{\circ }$、$225^{\circ }$、$315^{\circ }$ の 4 方向。$\sqrt{2}$ を掛けると $1+i$、$-1+i$、$-1-i$、$1-i$ です。

$(1+i{)}^2=2i$ なので $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$。確かに戻ります。

例：$z^5=32$

絶対値は $\sqrt[5]{32}=2$、偏角は $\frac{0^{\circ }+360^{\circ }k}{5}=72^{\circ }k$ です。

$k=0$ の $z=2$ だけが実数で、残る 4 つは実軸から外れます。実数の範囲では 5 乗根が 1 つしかないと習うのは、この 1 つだけを見ているためです。

$n$ が奇数の正の実数では、実数解は 1 つ。偶数なら $\pm$ の 2 つになります。

例：$z^3=-1$

絶対値は $1$、偏角は $\frac{180^{\circ }+360^{\circ }k}{3}=60^{\circ }+120^{\circ }k$ です。

$60^{\circ }$、$180^{\circ }$、$300^{\circ }$ なので、$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$、$-1$、$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

実数解の $-1$ に、虚数解が 2 つ加わります。$z^3+1=(z+1)(z^2-z+1)$ と因数分解した結果とも一致する。

例：$z^2=i$

$n=2$ なら平方根です。偏角は $\frac{90^{\circ }+360^{\circ }k}{2}=45^{\circ }+180^{\circ }k$。

$45^{\circ }$ と $225^{\circ }$ の 2 方向で、$\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ になります。

正 $2$ 角形は原点をはさむ 2 点のことなので、$n=2$ でも同じ枠に収まる。

例：解の和と積

$z^3=8i$ の 3 解を足すと $0$ になります。$(\sqrt{3}+i)+(-\sqrt{3}+i)+(-2i)=0$。

$z^3-8i=0$ に $z^2$ の項がないので、解と係数の関係から和は $0$ です。$n\ge 2$ ならいつでもそうなる。

掛けると $(\sqrt{3}+i)(-\sqrt{3}+i)(-2i)=(i^2-3)(-2i)=(-4)(-2i)=8i$ になります。

検算のしかた

$n$ 個すべての解を足して $0$ になるかを見ます。$n\ge 2$ ならつねに消えるので、1 つでも書きまちがえていれば残ります。

よくあるミス

絶対値は $n$ 乗根、偏角は $n$ 等分して $k$ で回す。この 2 行に落とし込めば、$n$ がいくつでも同じ手順で解がそろいます。

出典