4 点が同じ円周上に乗るかは複比で決まる

4 点 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 、 $δ$ が同じ円周上に乗るのは、次の値が実数のときである^[1]。

$\frac{γ - α}{γ - β} \div \frac{δ - α}{δ - β}$

複比と呼ばれる量である^[2]。一直線に並ぶ場合も、この条件に含まれる。

円周角がそろうかを見ている

$\frac{γ - α}{γ - β}$ の偏角は、 $γ$ から $α$ と $β$ を見込む角である^[1]。

同じように $\frac{δ - α}{δ - β}$ の偏角は、 $δ$ から見込む角になる。

2 つの角が等しければ、 $γ$ と $δ$ は線分 $α β$ を同じ角で見込んでいる。円周角は中心角の半分なので、同じ弧を見込む角どうしは等しい^[3]。逆にたどれば、4 点は同じ円の上にある。

角が等しいことは、商の偏角が $0$ になること。つまり複比が実数になることである。

$γ$ から見込む角を商で表す

$δ$ から見込む角も商で表す

2 つの商を割って実数かどうかを見る

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… seeName[index] …)

例：単位円上の 4 点

$α = 1$ 、 $β = i$ 、 $γ = - 1$ 、 $δ = - i$ をとる。どれも絶対値が $1$ である。

$\frac{γ - α}{γ - β} = \frac{- 2}{- 1 - i} = \frac{2}{1 + i} = 1 - i$ になる。

$\frac{δ - α}{δ - β} = \frac{- 1 - i}{- 2 i} = \frac{1 - i}{2}$ である。

割ると $\frac{1 - i}{( 1 - i ) /2} = 2$ 。実数なので 4 点は同じ円の上にある。

例：外れている場合

$δ$ を $0$ に変える。原点は単位円の上にない。

$\frac{δ - α}{δ - β} = \frac{- 1}{- i} = - i$ である。

複比は $\frac{1 - i}{- i} = 1 + i$ で、実数ではない。判定どおり外れている。

例：一直線の場合

$0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $3$ をとる。すべて実軸の上にある。

$\frac{2 - 0}{2 - 1} = 2$ 、 $\frac{3 - 0}{3 - 1} = \frac{3}{2}$ である。

複比は $\frac{2}{3/2} = \frac{4}{3}$ で実数になった。直線も条件をみたす^[2]。

半径を大きくしていくと円は直線に近づく。直線を「半径が無限大の円」と見ると、両方を 1 つの条件で書けることになる。

例：円周上に来るよう定数を決める

$α = 0$ 、 $β = 4$ 、 $γ = 4 + 2 i$ に対し、 $δ = k i$ が同じ円の上に来る実数 $k$ を探す。ただし $k \neq = 0$ とする。

$\frac{γ - α}{γ - β} = \frac{4 + 2 i}{2 i} = 1 - 2 i$ である。

$\frac{δ - α}{δ - β} = \frac{k i}{k i - 4}$ を計算する。分母を実数化すると $\frac{k i ( - k i - 4 )}{k ^{2} + 16} = \frac{k ^{2} - 4 k i}{k ^{2} + 16}$ になる。

複比が実数になるには、 $1 - 2 i$ をこれで割った値の虚部が $0$ であればよい。分母側の $k^{2} - 4 k i$ が $1 - 2 i$ の実数倍になる条件から、 $\frac{- 4 k}{k ^{2}} = - 2$ が出る。

$k = 2$ である。 $δ = 2 i$ とすると、4 点は中心 $2 + i$ 、半径 $5$ の円の上に並ぶ。

例：円の中心と半径で確かめる

3 点 $0$ 、 $4$ 、 $4 + 2 i$ を通る円を出す。垂直二等分線を 2 本立てる。

$0$ と $4$ からは $x = 2$ 、 $0$ と $4 + 2 i$ からは $2 x + y = 5$ 。交点は $2 + i$ で、半径は $4 + 1 = 5$ である。

$δ = 2 i$ との距離は $∣2 i - (2 + i) ∣ = ∣ - 2 + i ∣ = 5$ 。確かに同じ円の上に乗った。

複比で調べる道と、円を作って距離を測る道は同じ答えに着く。前者は円の中心を求めずに済む。

円と直線をまとめて扱う

複比の条件は、円と直線を区別しない^[2]。どちらでも実数になる。

これは不便に見えて、実は便利な性質である。反転や 1 次分数変換では円が直線に化けることがあり、そのたびに場合分けするのは重い。

「円か直線か」ではなく「円と直線をあわせたもの」として一つの言葉で扱う。複比はその言葉に合う道具になっている。

複比	$\frac{γ - α}{γ - β} \div \frac{δ - α}{δ - β}$
実数になる	4 点が同一円周上か一直線
$\frac{γ - α}{γ - β}$ の偏角	$γ$ から $α β$ を見込む角
実数の判定	$w = \overset{w}{ˉ}$

$0$ 、 $2$ 、 $2 + 2 i$ 、 $2 i$ の 4 点はどんな関係か。

同一円周上にある
一直線に並ぶ
どちらでもない

__RESULT__

$\frac{( 2 + 2 i ) - 0}{( 2 + 2 i ) - 2} = \frac{2 + 2 i}{2 i} = 1 - i$ 、 $\frac{2 i - 0}{2 i - 2} = \frac{1 - i}{2}$ である。複比は $2$ で実数なので同一円周上にある。正方形の 4 頂点で、中心 $1 + i$ 、半径 $2$ の円に乗っている。

見込む角がそろうかどうか。円周角の定理をそのまま式にしたものが複比で、実数になるかを見るだけで 4 点の関係が決まる。

参考

Evan Chen. *Bashing Geometry with Complex Numbers*. 2015.

Cross Ratio. Wolfram MathWorld.

Inscribed Angle. Wolfram MathWorld.

$\dfrac{\gamma-\alpha}{\gamma-\beta} \div \dfrac{\delta-\alpha}{\delta-\beta}$ が実数なら、4 点は同一円周上にあります。前半の偏角が $\gamma$ から線分 $\alpha\beta$ を見込む角、後半が $\delta$ から見込む角なので、割って実数になることは 2 つの角が等しいことにほかならない。円周角の定理をそのまま式にした形です。一直線に並ぶ場合も同じ条件をみたすので、円と直線を区別せずに扱えます。単位円上の 4 点、外れた点、正方形の頂点で数値を追い、円周上に来るよう定数を決める問題まで並べました。