内心は辺の長さで重みをつけた平均……重心とどこが違うか

内心は 3 頂点の平均ですが、重みが等しくありません。対辺の長さを重みにします^[1]。

$$\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}$$

$a$ は $\alpha$ の向かい側の辺の長さ、$b$ は $\beta$ の向かい、$c$ は $\gamma$ の向かいです。

重心は重みが $1:1:1$ でした。同じ形の式で、重みだけが辺の長さに変わっている。

重みが変わると点が動く

重みつきの平均では、大きな重みのついた点のほうへ寄ります。

内心は、向かいの辺が長い頂点へ引かれる。長い辺の向かいにある角は大きく、その角の内側へ内心が入る形です。

正三角形では $a=b=c$ なので重みがそろい、内心と重心が同じ点になります。3 辺の長さが違うほど 2 つは離れる。

角の二等分線が比を決めている

角の二等分線は、向かい側の辺を隣の 2 辺の比に内分します^[3]。

$\alpha$ から出た二等分線が辺 $\beta \gamma$ と交わる点を $\delta$ とすると、$\beta \delta :\delta \gamma =c:b$ です。

$$\delta =\frac{b\beta +c\gamma }{b+c}$$

内心はこの $\delta$ と $\alpha$ を結ぶ線分の上にあり、$\alpha$ からの比が $(b+c):a$ になります。

2 段の分点を 1 本にまとめると、$\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}$ という形に落ちる。重みつき平均の式は、二等分線を 2 回とった結果です。

例：3 辺が 3、4、5 の直角三角形

$\alpha =0$、$\beta =4$、$\gamma =3i$ とします。原点で直角です。

対辺の長さを出します。$a=|\beta -\gamma |=|4-3i|=5$、$b=|\gamma -\alpha |=3$、$c=|\alpha -\beta |=4$。

$$\frac{5\cdot 0+3\cdot 4+4\cdot 3i}{5+3+4}=\frac{12+12i}{12}=1+i$$

内心は $1+i$ です。実軸からも虚軸からも距離が $1$ で、内接円の半径が $1$ だと読めます。

重心のほうは $\frac{0+4+3i}{3}=\frac{4}{3}+i$ で、別の点になりました。

例：内接円の半径を出す

内心から辺までの距離が半径です。この三角形では、原点を通る 2 辺が実軸と虚軸に乗っています。

内心 $1+i$ から実軸までの距離は虚部の $1$、虚軸までは実部の $1$。斜辺までの距離も $1$ になるはずです。

面積と周長からも出せます。面積は $\frac{3\times 4}{2}=6$、周の半分は $\frac{3+4+5}{2}=6$ なので、半径は $\frac{6}{6}=1$。

例：$\alpha$ から内心までの比

二等分線と辺 $\beta \gamma$ の交点は $\delta =\frac{3\cdot 4+4\cdot 3i}{7}=\frac{12+12i}{7}$ です。

$\alpha =0$ から内心 $1+i$ までの長さは $\sqrt{2}$、内心から $\delta$ までは $\left|\frac{12+12i}{7}-(1+i)\right|=\frac{5\sqrt{2}}{7}$。

比は $7:5$ です。$(b+c):a=(3+4):5$ と一致しました。

単位円にのせる置き方

外接円を単位円にとる置き方は、内心では少し工夫が要ります。頂点をそのまま置くと式が重い。

3 頂点を $\alpha =x^2$、$\beta =y^2$、$\gamma =z^2$ の形に書けるよう $x$、$y$、$z$ を選ぶと、内心が短く書けます^[2]。

$$-(xy+yz+zx)$$

$x$、$y$、$z$ はどれも絶対値が $1$ です。二等分線が外接円と再び交わる点が $-yz$、$-zx$、$-xy$ になり、内心はその 3 点でつくる三角形の垂心にあたります^[2]。

例：正三角形では一致する

1 辺の長さが $2$ の正三角形をとります。$a=b=c=2$ なので重みがそろう。

$$\frac{2\alpha +2\beta +2\gamma }{6}=\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$$

重心の式になりました。正三角形では内心も重心も外心も垂心も 1 点に重なります。

逆に、2 つが一致すれば正三角形だと分かる。重みの差が形の差を測っています。

例：二等辺三角形のとき

$\alpha =2i$、$\beta =-1$、$\gamma =1$ とします。$|\alpha -\beta |=|\alpha -\gamma |=\sqrt{5}$ で二等辺です。

$a=|\beta -\gamma |=2$、$b=c=\sqrt{5}$ になります。

$$\frac{2\cdot 2i+\sqrt{5}(-1)+\sqrt{5}(1)}{2+2\sqrt{5}}=\frac{4i}{2+2\sqrt{5}}=\frac{2i}{1+\sqrt{5}}$$

実部が消えました。$\beta$ と $\gamma$ の重みが等しく、位置が原点について対称だからです。内心は虚軸の上に乗ります。

整理

内心も重心も、3 頂点の重みつき平均です。違いは重みだけ^[1]。

重心は $1:1:1$ で、頂点の位置しか見ません。内心は $a:b:c$ で、辺の長さが入ってきます。

外心と垂心は平均の形では書けず、垂直の条件から出しました。4 つの心のうち、平均で書けるのは 2 つです。

角の二等分線を 2 回とった結果が重みつき平均に落ちる。この道筋を押さえておけば、係数の $a$、$b$、$c$ がどこから来たか迷いません。

参考文献