内心は辺の長さで重みをつけた平均……重心とどこが違うか

内心は 3 頂点の平均ですが、重みが等しくありません。対辺の長さを重みにします^[1]。

$\frac{a α + b β + c γ}{a + b + c}$

$a$ は $α$ の向かい側の辺の長さ、 $b$ は $β$ の向かい、 $c$ は $γ$ の向かいです。

重心は重みが $1 : 1 : 1$ でした。同じ形の式で、重みだけが辺の長さに変わっている。

重みが変わると点が動く

重みつきの平均では、大きな重みのついた点のほうへ寄ります。

内心は、向かいの辺が長い頂点へ引かれる。長い辺の向かいにある角は大きく、その角の内側へ内心が入る形です。

正三角形では $a = b = c$ なので重みがそろい、内心と重心が同じ点になります。3 辺の長さが違うほど 2 つは離れる。

重心

重みは $1 : 1 : 1$ 。頂点の位置だけで決まる

内心

重みは $a : b : c$ 。辺の長さが効く

角の二等分線が比を決めている

角の二等分線は、向かい側の辺を隣の 2 辺の比に内分します^[3]。

$α$ から出た二等分線が辺 $β γ$ と交わる点を $δ$ とすると、 $β δ : δ γ = c : b$ です。

$δ = \frac{b β + c γ}{b + c}$

内心はこの $δ$ と $α$ を結ぶ線分の上にあり、 $α$ からの比が $(b + c) : a$ になります。

2 段の分点を 1 本にまとめると、 $\frac{a α + b β + c γ}{a + b + c}$ という形に落ちる。重みつき平均の式は、二等分線を 2 回とった結果です。

例：3 辺が 3、4、5 の直角三角形

$α = 0$ 、 $β = 4$ 、 $γ = 3 i$ とします。原点で直角です。

対辺の長さを出します。 $a = ∣ β - γ ∣ = ∣4 - 3 i ∣ = 5$ 、 $b = ∣ γ - α ∣ = 3$ 、 $c = ∣ α - β ∣ = 4$ 。

$\frac{5 \cdot 0 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 i}{5 + 3 + 4} = \frac{12 + 12 i}{12} = 1 + i$

内心は $1 + i$ です。実軸からも虚軸からも距離が $1$ で、内接円の半径が $1$ だと読めます。

重心のほうは $\frac{0 + 4 + 3 i}{3} = \frac{4}{3} + i$ で、別の点になりました。

例：内接円の半径を出す

内心から辺までの距離が半径です。この三角形では、原点を通る 2 辺が実軸と虚軸に乗っています。

内心 $1 + i$ から実軸までの距離は虚部の $1$ 、虚軸までは実部の $1$ 。斜辺までの距離も $1$ になるはずです。

面積と周長からも出せます。面積は $\frac{3 \times 4}{2} = 6$ 、周の半分は $\frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$ なので、半径は $\frac{6}{6} = 1$ 。

例： $α$ から内心までの比

二等分線と辺 $β γ$ の交点は $δ = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 i}{7} = \frac{12 + 12 i}{7}$ です。

$α = 0$ から内心 $1 + i$ までの長さは $2$ 、内心から $δ$ までは $\frac{12 + 12 i}{7} - (1 + i) = \frac{5 2}{7}$ 。

比は $7 : 5$ です。 $(b + c) : a = (3 + 4) : 5$ と一致しました。

単位円にのせる置き方

外接円を単位円にとる置き方は、内心では少し工夫が要ります。頂点をそのまま置くと式が重い。

3 頂点を $α = x^{2}$ 、 $β = y^{2}$ 、 $γ = z^{2}$ の形に書けるよう $x$ 、 $y$ 、 $z$ を選ぶと、内心が短く書けます^[2]。

$- (x y + y z + z x)$

$x$ 、 $y$ 、 $z$ はどれも絶対値が $1$ です。二等分線が外接円と再び交わる点が $- y z$ 、 $- z x$ 、 $- x y$ になり、内心はその 3 点でつくる三角形の垂心にあたります^[2]。

例：正三角形では一致する

1 辺の長さが $2$ の正三角形をとります。 $a = b = c = 2$ なので重みがそろう。

$\frac{2 α + 2 β + 2 γ}{6} = \frac{α + β + γ}{3}$

重心の式になりました。正三角形では内心も重心も外心も垂心も 1 点に重なります。

逆に、2 つが一致すれば正三角形だと分かる。重みの差が形の差を測っています。

例：二等辺三角形のとき

$α = 2 i$ 、 $β = - 1$ 、 $γ = 1$ とします。 $∣ α - β ∣ = ∣ α - γ ∣ = 5$ で二等辺です。

$a = ∣ β - γ ∣ = 2$ 、 $b = c = 5$ になります。

$\frac{2 \cdot 2 i + 5 ( - 1 ) + 5 ( 1 )}{2 + 2 5} = \frac{4 i}{2 + 2 5} = \frac{2 i}{1 + 5}$

実部が消えました。 $β$ と $γ$ の重みが等しく、位置が原点について対称だからです。内心は虚軸の上に乗ります。

$α = 0$ 、 $β = 6$ 、 $γ = 6 i$ の三角形の内心はどれですか。

$(6 - 32) + (6 - 32) i$
$2 + 2 i$
$3 + 3 i$

__RESULT__

$a = ∣6 - 6 i ∣ = 62$ 、 $b = 6$ 、 $c = 6$ です。内心は $\frac{6 2 \cdot 0 + 6 \cdot 6 + 6 \cdot 6 i}{6 2 + 12} = \frac{36 ( 1 + i )}{6 2 + 12}$ で、整理すると $(6 - 32) (1 + i)$ になります。 $2 + 2 i$ は重心、 $3 + 3 i$ は斜辺の中点で外心です。

整理

内心も重心も、3 頂点の重みつき平均です。違いは重みだけ^[1]。

重心は $1 : 1 : 1$ で、頂点の位置しか見ません。内心は $a : b : c$ で、辺の長さが入ってきます。

外心と垂心は平均の形では書けず、垂直の条件から出しました。4 つの心のうち、平均で書けるのは 2 つです。

角の二等分線を 2 回とった結果が重みつき平均に落ちる。この道筋を押さえておけば、係数の $a$ 、 $b$ 、 $c$ がどこから来たか迷いません。

参考文献

Incenter. Wolfram MathWorld.

Evan Chen. *Bashing Geometry with Complex Numbers*. 2015.

Angle Bisector Theorem. Wolfram MathWorld.

内心は $\dfrac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}$ で、$a$、$b$、$c$ は向かい側の辺の長さです。重心と同じ重みつき平均の形で、違うのは重みが $1:1:1$ か $a:b:c$ かという一点。角の二等分線が対辺を隣の 2 辺の比に内分するので、2 段の分点をまとめるとこの式に落ちます。3 辺が 3、4、5 の直角三角形では内心が $1+i$、重心は $\frac{4}{3}+i$ で別の点になる。正三角形では重みがそろって 2 つが一致します。単位円にのせる置き方も添えました。