実軸で折り返すと共役になる（複素数平面の対称移動）

$\bar{z}$ は、$z$ を実軸で折り返した点である^[1]。虚部の符号が変わるだけで、実部は動かない。

折り返す線を変えると、掛ける複素数が変わる。原点を通り実軸と角 $\theta$ をなす直線なら、次の形になる。

$$w=(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\bar{z}$$

$\theta =0$ で $\bar{z}$ そのもの。角の 2 倍が掛かるところが、回転との違いである。

実軸の折り返しが共役

$z=x+iy$ に対して $\bar{z}=x-iy$ である。実部が残り、虚部の符号が反転する。

方眼の上では、横の位置がそのままで縦の位置が反対側へ移ることにあたる^[2]。実軸そのものの上にある点は動かない。

折り返しを 2 回続けると元へ戻る。$\overline{\bar{z}}=z$ という等式が、この当たり前を表している^[3]。

虚軸と原点の場合

虚軸で折り返すなら、実部の符号だけを変える。$-\bar{z}$ である。

原点に関して対称な点は、実部も虚部も符号を変えた $-z$ になる。これは折り返しではなく $180^{\circ }$ の回転にあたる。

2 本の垂直な直線で順に折り返すと、その交点に関する $180^{\circ }$ の回転になる。$-\overline{\bar{z}}=-z$ という計算がそのまま図の話になっている。

例：$3+2i$ を折り返す

実軸なら $3-2i$、虚軸なら $-3+2i$、原点に関して対称なら $-3-2i$ である。

3 つを並べると、もとの点と合わせて長方形の 4 隅になる。実軸と虚軸が長方形の対称軸として働く。

どの点も原点からの距離が $\sqrt{13}$ で変わらない。折り返しも $180^{\circ }$ の回転も、長さを保つ変換である。

例：実数条件と純虚数条件

$z=\bar{z}$ は、折り返しても動かない点という意味になる。動かないのは実軸の上だけなので、$z$ は実数である^[3]。

$z=-\bar{z}$ なら実部が $0$ になる。$z\ne 0$ を添えれば純虚数の条件になる。

原点を通る直線の場合

実軸と角 $\theta$ をなす直線で折り返すと、掛ける数は $\cos 2\theta +i\sin 2\theta$ になる。

手順で見ると分かりやすい。まず直線が実軸へ重なるまで全体を $-\theta$ 回し、実軸で折り返し、$\theta$ だけ戻す。

回して戻すぶんが二重に効くので、角が 2 倍になる。折り返しの合成が回転になるのと同じ理由である。

例：直線 $y=x$ で折り返す

$\theta =45^{\circ }$ なので $2\theta =90^{\circ }$。掛ける数は $\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ }=i$ である。

$$w=i\bar{z}$$

$z=3+2i$ を入れると $i(3-2i)=3i-2i^2=2+3i$ になる。実部と虚部が入れかわった形で、$y=x$ の折り返しらしい結果である。

例：直線 $y=\sqrt{3}x$ で折り返す

傾き $\sqrt{3}$ の直線は $\theta =60^{\circ }$ なので、$2\theta =120^{\circ }$ になる。

$$w=\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\bar{z}$$

$z=2$ を入れると $\bar{z}=2$ で、$w=-1+\sqrt{3}i$。原点からの距離は $\sqrt{1+3}=2$ で保たれている。

例：原点を通らない直線

実軸に平行な直線 $y=k$ なら、$w=\bar{z}+2ki$ である。

虚軸に平行な直線 $x=h$ なら、$w=2h-\bar{z}$ になる。どちらも折り返しに平行移動が付いた形。

一般には、直線上の 1 点 $\alpha$ を使って $w=\alpha +(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\overline{(z-\alpha )}$ と書ける。$\alpha$ を引いて原点へ運び、折り返し、戻す。

例：$y=1$ で折り返す

$k=1$ なので $w=\bar{z}+2i$ である。$z=3+5i$ を入れる。

$\bar{z}=3-5i$ なので $w=3-5i+2i=3-3i$ になる。もとの点と答えの中点は $3+i$ で、確かに直線 $y=1$ の上に乗っている。

共役の計算法則

共役は和と積を素通りする^[3]。

実数係数の式なら、丸ごと共役をとっても形が変わらない。折り返した図形が同じ式で表せる、という意味になる^[4]。

検算のしかた

もとの点と答えの中点が、折り返しの線の上に乗るかを見る。乗っていなければどこかで符号を落としている。

原点を通る直線なら、原点からの距離が両方で等しいかも見られる。2 つとも合えば、まず正しい。

つまずきやすいところ

共役は折り返し、掛ける数は回転。この 2 つを分けて見れば、どんな直線に関する対称移動も 1 本の式に収まる。

参考文献