外接円を単位円にとると垂心は 3 頂点の和（オイラー線まで）

外接円を単位円にとると、垂心はただの和になる^[1]。

$$h=\alpha +\beta +\gamma$$

3 つの頂点を足すだけである。同じ置き方で外心は $0$、重心は $\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$ になる^[1]。

外心を原点へ置く

三角形は回しても平行移動しても形が変わらない。だから外接円の中心を原点、半径を $1$ にとってよい。

このとき $|\alpha |=|\beta |=|\gamma |=1$ である。外心は原点なので、求める手間が消える。

さらに $\bar{\alpha }=\frac{1}{\alpha }$ が使える^[1]。共役が分数に化けるので、式の見通しがよくなる。

和が垂心になることを見る

$h=\alpha +\beta +\gamma$ が垂心なら、$\alpha$ から $h$ へ向かう向きが辺 $\beta \gamma$ と直角になるはずである。

$h-\alpha =\beta +\gamma$ なので、次の商が純虚数かどうかを調べればよい。

$$w=\frac{\beta +\gamma }{\beta -\gamma }$$

共役をとる。$\bar{\beta }=\frac{1}{\beta }$、$\bar{\gamma }=\frac{1}{\gamma }$ を入れる。

$$\bar{w}=\frac{\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }}{\frac{1}{\beta }-\frac{1}{\gamma }}=\frac{\gamma +\beta }{\gamma -\beta }=-w$$

分子と分母に $\beta \gamma$ を掛けただけで、符号が反転した。$\bar{w}=-w$ は純虚数の条件である^[1]。

$\alpha$ から $h$ への向きが $\beta \gamma$ と直角になった。$\beta$ と $\gamma$ についても同じ計算が通るので、3 本の垂線が $h$ で交わる。

例：直角三角形で確かめる

$\alpha =1$、$\beta =i$、$\gamma =-1$ をとる。どれも絶対値が $1$ で、単位円の上にある。

$1$ と $-1$ は直径の両端なので、$\beta$ の角が直角である。直角三角形の垂心は、直角の頂点そのもの。

和は $1+i+(-1)=i$ で、$\beta$ と一致した。定理の言うとおりになっている。

オイラー線が落ちてくる

外心が $0$、重心が $\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$、垂心が $\alpha +\beta +\gamma$ である^[1]。

垂心は重心のちょうど $3$ 倍。原点を通る同じ向きの点なので、3 つは一直線に並ぶ。

$$h=3g$$

外心から重心までが $g$、重心から垂心までが $2g$ である。比は $1:2$ になる^[3]。

この直線がオイラー線と呼ばれる^[2]。垂心の式を書いた時点で、並ぶことも比も出てしまう。

外心が原点でないとき

単位円に合わせられない場合もある。座標が先に決まっている問題ではそうなる。

外心を $\omega$ とすると、垂心は次の形になる。

$$h=\alpha +\beta +\gamma -2\omega$$

$\omega =0$ を入れると和に戻る。全体を $-\omega$ だけ平行移動して原点へ持っていき、和をとってから戻した形である。

平行移動で $3$ 頂点それぞれが $-\omega$ ずれるので、和は $-3\omega$ ずれる。戻すときに $+\omega$ を足すので、差し引き $-2\omega$ が残る。

例：座標が決まっている三角形

$\alpha =0$、$\beta =6$、$\gamma =2+4i$ をとる。外心は $3+i$ と分かっているとする。

$$h=0+6+(2+4i)-2(3+i)=8+4i-6-2i=2+2i$$

垂心は $2+2i$ である。実際に垂線を引いて確かめる。

$\gamma$ から辺 $\alpha \beta$ すなわち実軸へ下ろす垂線は $x=2$ の直線。$\alpha$ から辺 $\beta \gamma$ へ下ろす垂線は、辺の向き $-4+4i$ と直角なので $y=x$ の直線である。

交点は $(2,2)$ で、$2+2i$ と合った。

例：オイラー線の比を確かめる

同じ三角形で重心を出す。$\frac{0+6+2+4i}{3}=\frac{8+4i}{3}$ である。

外心 $3+i$ からの差をとる。重心までが $\frac{8+4i}{3}-(3+i)=\frac{-1+i}{3}$、垂心までが $2+2i-(3+i)=-1+i$。

後者は前者のちょうど $3$ 倍である。3 点が一直線に並び、外心から重心までと重心から垂心までの比が $1:2$ になっている^[3]。

外心を原点へ置く。その一手だけで、垂心が和、重心が和の $3$ 分の $1$ になり、オイラー線が式の上に現れる。

参考