ジューコフスキー変換〜円が翼の形に化ける仕組み

ジューコフスキー変換は、$z$ とその逆数を足すだけの対応である^[1]。

$$w=z+\frac{1}{z}$$

これで円を写すと、線分になったり楕円になったり、飛行機の翼の断面になったりする。

単位円は線分につぶれる

$z=\cos \theta +i\sin \theta$ を入れる。$\frac{1}{z}=\cos \theta -i\sin \theta$ なので、虚部が打ち消し合う。

$$w=2\cos \theta$$

像は実軸の $-2$ から $2$ までの線分である^[1]。円がぺしゃんこにつぶれた。

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで回るあいだに、点は線分の上を往復する。上半分と下半分が同じ場所へ重なる。

半径を変えると楕円になる

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とする。$r\ne 1$ なら虚部が残る。

$$w=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos \theta +i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \theta$$

横の半径が $r+\frac{1}{r}$、縦の半径が $r-\frac{1}{r}$ の楕円である。

$r=2$ なら $2.5$ と $1.5$。$r$ を $1$ に近づけると縦がつぶれ、線分に戻っていく。

角が保たれない点がある

$w=z+\frac{1}{z}$ を微分する。

$$\frac{dw}{dz}=1-\frac{1}{z^2}$$

これが $0$ になるのは $z=1$ と $z=-1$ のときである。ほかの点では $0$ にならない。

微分が $0$ でない点では角が保たれる^[3]。$\pm 1$ だけが例外で、そこでは角が $2$ 倍に開く。

$z=1$ の像は $w=2$、$z=-1$ の像は $w=-2$ である。線分の両端がちょうどこの 2 点になっていた。

尖りが生まれる仕組み

円が $z=1$ を通ると、像の $w=2$ のところに尖りができる^[1]。

角が $2$ 倍になる点なので、円のなめらかな曲がりが引き伸ばされる。もとの円で $180^{\circ }$ に開いていた向きが、像では $360^{\circ }$ に開く。

これが翼の後ろ端の鋭い形になる。前の端は $z=-1$ を通らないので、丸いまま残る^[2]。

尖った後端と丸い前端。この組み合わせが翼らしい断面をつくっている。

例：中心をずらした円

中心を $-0.1$、半径を $1.1$ にとる。$|1-(-0.1)|=1.1$ なので、円はちょうど $z=1$ を通る。

$z=-1$ との距離は $|-1-(-0.1)|=0.9$ で半径より小さい。$-1$ は円の内側に入り、通らない。

像は後端が尖り、前端が丸い形になる。上下は対称で、そりのない翼にあたる^[2]。

半径を大きくすると厚みが増す。中心をどれだけ左へ寄せるかが、厚みを決めている^[2]。

例：そりを付ける

中心を $-0.1+0.1i$ に動かす。半径は $z=1$ を通るように $|1-(-0.1+0.1i)|=\sqrt{1.22}$ とする。

上下の対称が崩れ、像が反り返る。虚部をどれだけ持ち上げるかが、そりの量になる^[2]。

厚みとそりを 2 つの数で調整できる。円という単純な形から、翼という複雑な形が出てくる仕組みである。

例：円の外側がどこへ行くか

$|z|>1$ の範囲だけを写すと、像は線分の外側全体を 1 対 1 で覆う。

$z$ と $\frac{1}{z}$ を入れかえても $w$ は同じ値になる。だから円の内側と外側が同じ像へ重なる。

外側だけに限れば重なりが消える。空気の流れを扱うときに外側だけを使うのは、この理由による。

円に逆数を足す。それだけの式が、$\pm 1$ で角を $2$ 倍にひろげ、なめらかな曲線に尖りを生む。

参考