複素数平面の内分点と外分点、重心はどこに来るか

2 点 $\alpha$、$\beta$ を結ぶ線分を $m:n$ に内分する点は、次の式で出ます。

$$\frac{n\alpha +m\beta }{m+n}$$

分子では $\alpha$ に $n$ が掛かり、$\beta$ に $m$ が掛かります。比の数字がたすきに入れかわる。

遠いほうに大きな重みが乗る

$m:n$ の $m$ は $\alpha$ 側の長さ、$n$ は $\beta$ 側の長さです。

点は近いほうへ寄るので、係数は逆に付きます。$\beta$ に近い点なら $\beta$ の係数が大きい。

重みつきの平均と見ると、この入れかわりが自然に見えます^[2]。天びんで軽いほうが支点から遠くなるのと同じ形。

外分は符号を反転させる

外分点は、比の一方を負とみなして同じ式に入れます^[3]。

$$\frac{-n\alpha +m\beta }{m-n}$$

$n$ の符号だけが変わり、分母も引き算になる。$m=n$ のときは分母が $0$ になり、外分点が存在しません。

$m=n$ は「両端から等しい距離にある外の点」を求めることにあたります。そんな点はないので、式のほうも壊れる。

内分点は線分の内側だけを動きます。外分点は比が $1:1$ に近づくほど遠くへ逃げ、$m=n$ で消える。

例：中点

$m=n=1$ を入れると分子が $\alpha +\beta$、分母が $2$ です。

$$\frac{\alpha +\beta }{2}$$

中点はいちばん使う形なので、内分の式から導かずにそのまま覚えておくと速い。

例：2:1 に内分する

$\alpha =1+2i$、$\beta =7-4i$ を $2:1$ に内分します。$m=2$、$n=1$ なので係数は $\alpha$ に $1$、$\beta$ に $2$。

$$\frac{1\cdot (1+2i)+2\cdot (7-4i)}{2+1}=\frac{15-6i}{3}=5-2i$$

$5-2i$ です。$\alpha$ からの距離が $\sqrt{16+16}$、$\beta$ からの距離が $\sqrt{4+4}$ で、比はきちんと $2:1$ になっている。

例：3:1 に外分する

同じ 2 点を $3:1$ に外分します。$m=3$、$n=1$ を外分の式へ入れる。

$$\frac{-1\cdot (1+2i)+3\cdot (7-4i)}{3-1}=\frac{20-14i}{2}=10-7i$$

$10-7i$ になります。$\beta$ より先へ抜けた位置で、線分の外に出ている。

例：1:3 に外分する

$m=1$、$n=3$ なら分母が $1-3=-2$ です。

$$\frac{-3(1+2i)+1\cdot (7-4i)}{1-3}=\frac{4-10i}{-2}=-2+5i$$

今度は $\alpha$ より手前へ出ます。$m$ と $n$ の大小で、どちら側へ飛ぶかが決まる。

重心は 3 頂点の平均

三角形の 3 頂点を $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とすると、重心は次の位置です^[1]。

$$\frac{\alpha +\beta +\gamma }{3}$$

比も符号も出てきません。3 つを足して 3 で割るだけ^[4]。

内分の式で重みをすべて等しくした形にあたります。等しい重みで釣り合う点なので、平均そのものになる^[2]。

例：重心を出す

$\alpha =2+i$、$\beta =-1+4i$、$\gamma =5-2i$ の三角形の重心を求めます。

実部と虚部を別々に足すと速い。実部は $2-1+5=6$、虚部は $1+4-2=3$ です。

$$\frac{6+3i}{3}=2+i$$

$2+i$ になりました。頂点 $\alpha$ とたまたま重なった形で、こういう配置もありえます。

例：中線が 2 対 1 に分かれる

中線は、$\alpha$ と $\beta \gamma$ の中点 $M=\frac{\beta +\gamma }{2}$ を結んだ線分です。

重心 $G$ について $G-\alpha$ と $M-G$ を計算します。前者は $\frac{\beta +\gamma -2\alpha }{3}$、後者は $\frac{\beta +\gamma -2\alpha }{6}$。

同じ向きで長さが 2 倍と 1 倍なので、$AG:GM=2:1$ です^[1]。3 本の中線すべてで同じことが起きる^[4]。

例：重心の別の書き方

$G$ が重心なら、$(\alpha -G)+(\beta -G)+(\gamma -G)=0$ が成り立ちます。

3 つの矢印を足すと消えるという形で、これが釣り合いの条件そのものです^[2]。

逆にこの式から $3G=\alpha +\beta +\gamma$ が出るので、平均の式と同じ内容になる。

例：平行四辺形の第 4 頂点

$A(\alpha )$、$B(\beta )$、$C(\gamma )$ を頂点とする平行四辺形 $ABCD$ の $D$ を求めます。

対角線が互いを二等分するので、$AC$ の中点と $BD$ の中点が一致する。

$$\frac{\alpha +\gamma }{2}=\frac{\beta +\delta }{2}$$

$\delta =\alpha +\gamma -\beta$ です。中点の式を 1 本立てるだけで出ます。

例：4 点の平均はなにになるか

4 つの点の平均 $\frac{\alpha +\beta +\gamma +\delta }{4}$ は、四角形の重心とは限りません。

板の重心は面積で決まるのに対し、この平均は 4 頂点に等しい重みを置いた点だからです。

三角形では両者が一致するので混同しやすいところ。四角形では別の点になります。

検算

出た点と両端の距離を測り、比が合っているかを見ます。内分なら 2 つの距離の和がもとの線分の長さに戻る。

重心なら、3 頂点との距離ではなく座標の平均を見直すほうが早い。距離は等しくならないので、そこで確かめようとすると迷います。

まちがえやすい点

比の数字が係数へ移るときにたすきへ入れかわる。ここだけ押さえておけば、内分も外分も重心も同じ 1 本の式から出ます。

出典