オメガの 100 乗はどう出すか｜1 の 3 乗根 ω で指数を折りたたむ

$ω^{100} = ω$ です。 $100$ を $3$ で割った余りが $1$ なので、指数がそこまで落ちます。

$ω$ は $1$ の $3$ 乗根のうち、実数でないほうを指します^[1]。

$ω = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

この数には $ω^{3} = 1$ と $ω^{2} + ω + 1 = 0$ という 2 本の関係があり、計算はほぼこの 2 本で片づきます^[3]。

指数は 3 で割った余りだけ見る

$ω^{3} = 1$ なので、 $ω$ を 3 回掛けるたびに $1$ に戻ります。指数は 3 周期でくり返す。

$ω^{0} = 1, ω^{1} = ω, ω^{2} = ω^{2}, ω^{3} = 1, ω^{4} = ω, \dots$

$ω^{n}$ を出すには、 $n$ を $3$ で割った余りを見れば足ります。 $100 = 3 \times 33 + 1$ なので $ω^{100} = ω$ 。

$3$ で割った余りは、各位の数を足してから調べても出ます。 $2024$ なら $2 + 0 + 2 + 4 = 8$ 、 $8$ の余りが $2$ なので $ω^{2024} = ω^{2}$ です。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… cycleName[index] …)

もう 1 本の関係で次数を下げる

$ω^{2} + ω + 1 = 0$ は、 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ の右側の因数から出ます^[4]。 $ω \neq = 1$ なので、 $ω$ はこの 2 次式の解になる。

この式を移項すると、次数を下げる道具になります。

$ω^{2} = - 1 - ω, 1 + ω = - ω^{2}, 1 + ω^{2} = - ω$

$1 + ω$ や $1 + ω^{2}$ が出たら、 $ω$ の 1 つの累乗にまとめてしまう。この置きかえが計算をいちばん短くします。

$ω^{3}$	$1$
$ω^{100}$	$ω$ （余り $1$ ）
$1 + ω$	$- ω^{2}$
$1 + ω^{2}$	$- ω$
$ω + ω^{2}$	$- 1$
$ω \cdot ω^{2}$	$1$
$\overline{ω}$	$ω^{2}$

例： $(1 + ω)^{6}$

$1 + ω = - ω^{2}$ に置きかえます。

$(1 + ω)^{6} = (- ω^{2})^{6} = ω^{12}$

$12$ は $3$ で割り切れるので $ω^{12} = 1$ 。展開せずに $1$ が出ました。

$(- 1)^{6} = 1$ なので、途中の符号も消えます。偶数乗のときは符号を気にせず済む。

例： $(1 - ω + ω^{2})^{3}$

$ω^{2} = - 1 - ω$ を入れます。

$1 - ω + ω^{2} = 1 - ω - 1 - ω = - 2 ω$

3 乗すると $(- 2 ω)^{3} = - 8 ω^{3} = - 8$ です。

$1 + ω + ω^{2} = 0$ を先に思い出しておくと、 $1 + ω^{2} = - ω$ から $- ω - ω = - 2 ω$ とも出せます。

例： $(1 - ω) (1 - ω^{2})$

そのまま展開します。

$1 - ω^{2} - ω + ω^{3} = 1 - (ω + ω^{2}) + 1$

$ω + ω^{2} = - 1$ なので、 $1 + 1 + 1 = 3$ になります。

きれいに整数へ落ちました。 $ω$ を含む積が実数になるのは、 $ω$ と $ω^{2}$ が共役どうしだからです^[2]。

$ω$ と $ω^{2}$ が共役どうしなのは、絶対値が $1$ で偏角が $\pm 12 0^{\circ}$ だからです。

$\overline{ω} = \frac{1}{ω} = ω^{2}$ 。対で使うと虚部が消える。

例： $ω^{100} + ω^{200}$

$100$ の余りが $1$ 、 $200$ の余りが $2$ です。 $200 = 3 \times 66 + 2$ になります。

$ω^{100} + ω^{200} = ω + ω^{2} = - 1$

$- 1$ です。大きな指数でも、余りを 2 つ出せば終わります。

例： $1 + ω + ω^{2} + \dots + ω^{n}$

3 個ずつまとめると、それぞれが $1 + ω + ω^{2} = 0$ で消えます。項数 $n + 1$ を $3$ で割った余りだけが残る。

余りが $0$ なら和は $0$ 、 $1$ なら $1$ 、 $2$ なら $1 + ω = - ω^{2}$ です。

$n = 100$ なら項数は $101$ 、余りが $2$ なので和は $- ω^{2}$ になります。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… foldName[index % 3] …)

例：3 次の因数分解に使う

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c$ は、 $ω$ を使うと 1 次式 3 つの積に分かれます。

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c = (a + b + c) (a + ω b + ω^{2} c) (a + ω^{2} b + ω c)$

$a = 2$ 、 $b = 1$ 、 $c = 0$ で確かめます。左辺は $8 + 1 + 0 - 0 = 9$ 。

右辺は $3 \times (2 + ω) (2 + ω^{2}) = 3 \times (4 + 2 ω^{2} + 2 ω + ω^{3})$ です。 $ω + ω^{2} = - 1$ 、 $ω^{3} = 1$ を入れると $3 \times (4 - 2 + 1) = 9$ になります。

実数の範囲では $(a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a)$ までしか割れません。 $ω$ を許すと 1 次まで割り切れる。

例：2 次方程式の解として現れる

$x^{2} + x + 1 = 0$ を解の公式で解きます。

$x = \frac{- 1 \pm - 3}{2} = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i$

この 2 つが $ω$ と $ω^{2}$ です^[1]。 $ω$ をどちらに決めても、残りが自動的に $ω^{2}$ になります。

$ω$ の定義を覚えるより、 $x^{2} + x + 1 = 0$ の解と覚えておくほうが使いやすい。関係式がそのまま手に入ります。

$ω^{50} + ω^{25} + 1$ の値はどれですか。

$0$
$3$
$- 1$

__RESULT__

$50 = 3 \times 16 + 2$ なので $ω^{50} = ω^{2}$ 、 $25 = 3 \times 8 + 1$ なので $ω^{25} = ω$ です。合わせると $ω^{2} + ω + 1 = 0$ になります。 $3$ は指数をすべて $3$ の倍数だと見たときの値、 $- 1$ は最後の $1$ を足し忘れた値です。

よくある誤り

指数を

3

で割った商のほうを使う。要るのは余りです。

1 + ω + ω^{2} = 1

と覚える。正しくは

0

です。

ω^{2}

を

ω

の共役でないと考える。

\overline{ω} = ω^{2}

になります。

和の項数と指数の最大値をとり違える。

ω^{n}

までなら項数は

n + 1

です。

ω

を

1

の

3

乗根すべてだと考える。

1

は含めず、虚数のほうを指します。

$ω^{3} = 1$ で指数を折りたたみ、 $ω^{2} + ω + 1 = 0$ で次数を下げる。この 2 本だけで、 $ω$ の計算はほぼ暗算に落ちます。

参考文献

Root of unity - Wikipedia

Einheitswurzel - Wikipedia

单位根 - 维基百科

Racine de l'unité - Wikipédia

$\omega^3 = 1$ なので指数は 3 周期でくり返し、$100$ を $3$ で割った余り $1$ から $\omega^{100} = \omega$ とすぐ出ます。もう 1 本の $\omega^2+\omega+1 = 0$ は次数を下げる道具で、$1+\omega = -\omega^2$、$1+\omega^2 = -\omega$ と置きかえると式が一気に短くなる。$(1+\omega)^6$、$(1-\omega+\omega^2)^3$、$(1-\omega)(1-\omega^2)$ を展開せずに片づけ、$\omega^{100}+\omega^{200}$ や項数の余りで決まる等比和も追いました。$a^3+b^3+c^3-3abc$ が 1 次式 3 つに割れるのも同じ関係式から。