係数に i が入る 2 次方程式の解き方と判別式の限界

係数が複素数でも、解の公式はそのまま使えます^[1]。

$$z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

使えなくなるのは、判別式の符号で解を分類する部分です。$b^2-4ac$ が複素数になると、正も負もありません。

公式のほうは生き残る

導き方が平方完成だけなので、係数がどんな数でも同じ変形が通ります^[4]。

変わるのは  ​ の読み方です。実数のときは「$2$ 乗して $D$ になる正のほう」を指しましたが、複素数では正負が決められない。

$\pm \sqrt{D}$ は「$2$ 乗して $D$ になる $2$ つの数」をまとめて表す記号になります^[1]。どちらを先に書いても、$\pm$ が両方を拾う。

平方根そのものは、実部と虚部を置いて連立を解けば求まります^[3]。

判別式の符号は意味を持たない

$D>0$ で実数解 $2$ 個、$D=0$ で重解、$D<0$ で虚数解 $2$ 個。この分け方は、係数がすべて実数のときだけの話です。

$D$ が複素数なら大小が比べられません。$2i$ と $0$ のどちらが大きいかは決まらない。

残るのは $D=0$ かどうかだけです。$D=0$ なら重解、$D\ne 0$ なら異なる $2$ 解になります^[4]。

例：$z^2+(1-i)z-i=0$

判別式を計算します。$b^2=(1-i{)}^2=1-2i-1=-2i$、$4ac=-4i$ です。

$$D=-2i-(-4i)=2i$$

$2i$ の平方根は $\pm (1+i)$。$(1+i{)}^2=2i$ で戻ります。

$$z=\frac{-(1-i)\pm (1+i)}{2}$$

$+$ をとると $\frac{-1+i+1+i}{2}=i$、$-$ をとると $\frac{-1+i-1-i}{2}=-1$ です。

解は $i$ と $-1$。$i$ の共役 $-i$ は解になっていません。係数に $i$ が入ったせいで、対の関係が消えています^[2]。

例：$D$ が負の実数でも対にならない

$z^2+2iz+3=0$ を解きます。$D=(2i{)}^2-12=-4-12=-16$ です。

$D$ は負の実数ですが、係数のほうが複素数のままなので、共役の対にはなりません。

$\sqrt{-16}=\pm 4i$ を入れると、$z=\frac{-2i\pm 4i}{2}$。$z=i$ と $z=-3i$ になります。

どちらも純虚数ですが、$i$ と $-3i$ は共役どうしではない。$D<0$ という見た目にだまされやすいところです。

例：$D=0$ の重解

$z^2-2iz-1=0$ では $D=(-2i{)}^2+4=-4+4=0$ です。

$$z=\frac{2i}{2}=i$$

$i$ が重解になります。$(z-i{)}^2=z^2-2iz+i^2=z^2-2iz-1$ と展開でき、確かに $2$ 乗の形です。

$D=0$ の判定だけは、係数が複素数でも意味を持ちます^[4]。$D$ が $0$ かどうかは、実数でも複素数でも決められる。

解と係数の関係は残る

$a{z}^2+bz+c=0$ の $2$ 解を $z_1$、$z_2$ とすると、次が成り立ちます^[4]。

$$z_1+z_2=-\frac{b}{a},z_1{z}_2=\frac{c}{a}$$

導き方が係数の比較だけなので、係数が複素数でもそのまま通ります。

$z^2+(1-i)z-i=0$ で確かめます。和は $i+(-1)=-1+i$ で、$-(1-i)=-1+i$ と一致。積は $i\times (-1)=-i$ で、$c=-i$ と一致します。

例：因数分解で解く

$z^2+(1-i)z-i$ は、$(z+1)(z-i)$ と分解できます。

展開すると $z^2-iz+z-i=z^2+(1-i)z-i$ で戻ります。定数項の $-i$ を $1\times (-i)$ と見れば手がかりになります。

複素数の範囲では因数が見つけにくいので、判別式から進むほうが確実です。分解が見えたときだけ使う近道になります。

例：実数解をもつ条件

$z^2+(1+i)z+(k+i)=0$ が実数解をもつような実数 $k$ を求めます。

実数解を $x$ とおいて代入し、実部と虚部に分けます。

$$(x^2+x+k)+(x+1)i=0$$

複素数が $0$ になるのは実部と虚部が両方 $0$ のときなので、$x+1=0$ と $x^2+x+k=0$ を同時にみたす。

$x=-1$ を入れると $1-1+k=0$ から $k=0$ です。もとの式へ戻すと $z^2+(1+i)z+i=0$ となり、$z=-1$ で成り立ちます。

よくあるミス

公式は残り、符号による分類だけが落ちる。どこまでが実数係数に依存していた話かを切り分ければ、係数に $i$ が入っても手順は変わりません。

参考