ド・モアブルの定理を帰納法で証明し、負の指数まで伸ばす

ド・モアブルの定理は、累乗が偏角を $n$ 倍にすると述べている^[2]。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

$n$ が自然数のときは、掛け算の規則をくり返すだけで出る^[1]。掛けるたびに偏角が $\theta$ 増えるので、$n$ 回で $n\theta$ になる。

負の整数まで伸ばせる。ただし分数の指数では、等式の意味が変わる^[1]。

積の規則をくり返す

絶対値 $1$ の複素数どうしを掛けると、偏角が足される。長さは $1$ のまま動かない。

$$(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )=\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$$

右辺を展開すると、実部が $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$、虚部が $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ になる。三角関数の加法定理そのものである^[3]。

同じ数を $n$ 回掛ければ、偏角は $\theta$ を $n$ 回足した値になる。これが定理の中身である。

帰納法で示す

$n=1$ では両辺が $\cos \theta +i\sin \theta$ で、そのまま成り立つ^[1]。

$n=k$ で成り立つと仮定する。$k+1$ 乗を $k$ 乗と 1 個の積に分ける。

$$\begin{array}{rl}(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{k+1}& =(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta +i\sin \theta {)}^k\\ & =(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos k\theta +i\sin k\theta )\\ & =\cos (k+1)\theta +i\sin (k+1)\theta \end{array}$$

最後の行で積の規則を 1 回使った。$k$ で成り立てば $k+1$ でも成り立つので、すべての自然数で成り立つ^[1]。

例：2 乗から加法定理が出る

$n=2$ を入れる。左辺を素直に展開すると次のようになる。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta +2i\sin \theta \cos \theta$$

右辺は $\cos 2\theta +i\sin 2\theta$ である。実部どうし、虚部どうしを見比べる。

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ と $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ が同時に出た。2 倍角の公式が 1 行の計算から落ちてくる。

負の指数へ伸ばす

$n$ が負のときは $n=-m$ と置く。$m$ は正の整数である。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{-m}=\frac{1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }$$

分母の共役を掛けると、分母が ${\cos }^{2}m\theta +{\sin }^{2}m\theta =1$ になる^[1]。

$$=\cos m\theta -i\sin m\theta =\cos (-m\theta )+i\sin (-m\theta )$$

$\cos$ が偶関数、$\sin$ が奇関数なので符号がそろう。$n=0$ は両辺が $1$ で、これも成り立つ。整数全体へ広がった^[2]。

例：$(1+i{)}^{12}$

絶対値は $\sqrt{2}$、偏角は $45^{\circ }$ である。$12$ 乗すると絶対値は $(\sqrt{2}{)}^{12}=64$。

偏角は $45^{\circ }\times 12=540^{\circ }$ で、$360^{\circ }$ を引いて $180^{\circ }$ になる。

$$(1+i{)}^{12}=64(\cos 180^{\circ }+i\sin 180^{\circ })=-64$$

二項定理で展開すると 13 項になる。極形式なら 2 行で済む。

例：$(1+i{)}^{-6}$

絶対値は $(\sqrt{2}{)}^{-6}=\frac{1}{8}$、偏角は $45^{\circ }\times (-6)=-270^{\circ }$ である。

$-270^{\circ }$ に $360^{\circ }$ を足して $90^{\circ }$。

$$(1+i{)}^{-6}=\frac{1}{8}(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=\frac{i}{8}$$

$(1+i{)}^6=-8i$ の逆数をとっても同じ値になる。負の指数でも手順は変わらない。

例：何乗すると $1$ に戻るか

$(\cos 40^{\circ }+i\sin 40^{\circ }{)}^n$ が $1$ になる最小の自然数 $n$ を探す。

定理から偏角は $40n$ 度である。$1$ の偏角は $0^{\circ }$ なので、$40n$ が $360$ の倍数になればよい。

$40n=360k$ から $n=9k$ である。最小は $n=9$。

絶対値が $1$ の数だけがこの形で戻る。絶対値が $1$ でなければ、何乗しても長さが $1$ に戻らない。

有理数の指数では言い方が変わる

$n$ が分数のとき、左辺は 1 つの値に決まらない。$n=\frac{1}{2}$ なら平方根が 2 つあるためである。

このとき定理は「$\cos n\theta +i\sin n\theta$ は左辺の値の 1 つである」という形になる^[1]。すべてを尽くしてはいない。

$\theta =0$、$n=\frac{1}{2}$ で試す。右辺は $\cos 0+i\sin 0=1$ だが、左辺の $1^{1/2}$ には $-1$ も含まれる。

等号を「等しい」と読むか「候補の 1 つ」と読むか。整数と分数のあいだにこの段差がある。

例：分数の指数で数える

$n=\frac{1}{3}$、$\theta =0^{\circ }$ とする。右辺は $1$ である。

左辺の $1^{1/3}$ は $1$ の 3 乗根なので 3 つある。$1$ のほかに $2$ つの虚数が入る。

右辺が拾えるのはそのうち 1 つだけ。残りを出すには偏角へ $360^{\circ }$ の整数倍を足し直す必要がある。

偏角を $n$ 倍し、絶対値を $n$ 乗する。整数の範囲ではこの 2 行で閉じており、分数へ踏み出したところで値が枝分かれする。

参考文献