ド・モアブルの定理を帰納法で証明し、負の指数まで伸ばす

ド・モアブルの定理は、累乗が偏角を $n$ 倍にすると述べている^[2]。

$(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$

$n$ が自然数のときは、掛け算の規則をくり返すだけで出る^[1]。掛けるたびに偏角が $θ$ 増えるので、 $n$ 回で $n θ$ になる。

負の整数まで伸ばせる。ただし分数の指数では、等式の意味が変わる^[1]。

積の規則をくり返す

絶対値 $1$ の複素数どうしを掛けると、偏角が足される。長さは $1$ のまま動かない。

$(cos α + i sin α) (cos β + i sin β) = cos (α + β) + i sin (α + β)$

右辺を展開すると、実部が $cos α cos β - sin α sin β$ 、虚部が $sin α cos β + cos α sin β$ になる。三角関数の加法定理そのものである^[3]。

同じ数を $n$ 回掛ければ、偏角は $θ$ を $n$ 回足した値になる。これが定理の中身である。

帰納法で示す

$n = 1$ では両辺が $cos θ + i sin θ$ で、そのまま成り立つ^[1]。

$n = k$ で成り立つと仮定する。 $k + 1$ 乗を $k$ 乗と 1 個の積に分ける。

$(cos θ + i sin θ)^{k + 1} = (cos θ + i sin θ) (cos θ + i sin θ)^{k} = (cos θ + i sin θ) (cos k θ + i sin k θ) = cos (k + 1) θ + i sin (k + 1) θ$

最後の行で積の規則を 1 回使った。 $k$ で成り立てば $k + 1$ でも成り立つので、すべての自然数で成り立つ^[1]。

例：2 乗から加法定理が出る

$n = 2$ を入れる。左辺を素直に展開すると次のようになる。

$(cos θ + i sin θ)^{2} = cos^{2} θ - sin^{2} θ + 2 i sin θ cos θ$

右辺は $cos 2 θ + i sin 2 θ$ である。実部どうし、虚部どうしを見比べる。

$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ$ と $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ が同時に出た。2 倍角の公式が 1 行の計算から落ちてくる。

負の指数へ伸ばす

$n$ が負のときは $n = - m$ と置く。 $m$ は正の整数である。

$(cos θ + i sin θ)^{- m} = \frac{1}{cos m θ + i sin m θ}$

分母の共役を掛けると、分母が $cos^{2} m θ + sin^{2} m θ = 1$ になる^[1]。

$= cos m θ - i sin m θ = cos (- m θ) + i sin (- m θ)$

$cos$ が偶関数、 $sin$ が奇関数なので符号がそろう。 $n = 0$ は両辺が $1$ で、これも成り立つ。整数全体へ広がった^[2]。

例： $(1 + i)^{12}$

絶対値は $2$ 、偏角は $4 5^{\circ}$ である。 $12$ 乗すると絶対値は $(2)^{12} = 64$ 。

偏角は $4 5^{\circ} \times 12 = 54 0^{\circ}$ で、 $36 0^{\circ}$ を引いて $18 0^{\circ}$ になる。

$(1 + i)^{12} = 64 (cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ}) = - 64$

二項定理で展開すると 13 項になる。極形式なら 2 行で済む。

例： $(1 + i)^{- 6}$

絶対値は $(2)^{- 6} = \frac{1}{8}$ 、偏角は $4 5^{\circ} \times (- 6) = - 27 0^{\circ}$ である。

$- 27 0^{\circ}$ に $36 0^{\circ}$ を足して $9 0^{\circ}$ 。

$(1 + i)^{- 6} = \frac{1}{8} (cos 9 0^{\circ} + i sin 9 0^{\circ}) = \frac{i}{8}$

$(1 + i)^{6} = - 8 i$ の逆数をとっても同じ値になる。負の指数でも手順は変わらない。

例：何乗すると $1$ に戻るか

$(cos 4 0^{\circ} + i sin 4 0^{\circ})^{n}$ が $1$ になる最小の自然数 $n$ を探す。

定理から偏角は $40 n$ 度である。 $1$ の偏角は $0^{\circ}$ なので、 $40 n$ が $360$ の倍数になればよい。

$40 n = 360 k$ から $n = 9 k$ である。最小は $n = 9$ 。

絶対値が $1$ の数だけがこの形で戻る。絶対値が $1$ でなければ、何乗しても長さが $1$ に戻らない。

有理数の指数では言い方が変わる

$n$ が分数のとき、左辺は 1 つの値に決まらない。 $n = \frac{1}{2}$ なら平方根が 2 つあるためである。

このとき定理は「 $cos n θ + i sin n θ$ は左辺の値の 1 つである」という形になる^[1]。すべてを尽くしてはいない。

$θ = 0$ 、 $n = \frac{1}{2}$ で試す。右辺は $cos 0 + i sin 0 = 1$ だが、左辺の $1^{1/2}$ には $- 1$ も含まれる。

等号を「等しい」と読むか「候補の 1 つ」と読むか。整数と分数のあいだにこの段差がある。

$n$ が自然数	等式として成り立つ
$n = 0$	両辺が $1$
$n$ が負の整数	等式として成り立つ
$n$ が分数	右辺は左辺の値の 1 つ

例：分数の指数で数える

$n = \frac{1}{3}$ 、 $θ = 0^{\circ}$ とする。右辺は $1$ である。

左辺の $1^{1/3}$ は $1$ の 3 乗根なので 3 つある。 $1$ のほかに $2$ つの虚数が入る。

右辺が拾えるのはそのうち 1 つだけ。残りを出すには偏角へ $36 0^{\circ}$ の整数倍を足し直す必要がある。

$(cos 2 0^{\circ} + i sin 2 0^{\circ})^{- 9}$ の値はどれか。

$- 1$
$1$
$i$

__RESULT__

偏角は $2 0^{\circ} \times (- 9) = - 18 0^{\circ}$ である。絶対値は $1$ のままなので $cos (- 18 0^{\circ}) + i sin (- 18 0^{\circ}) = - 1$ になる。 $1$ は偏角を $- 36 0^{\circ}$ と見た値、 $i$ は符号を落として $9 0^{\circ}$ とした値。

偏角を $n$ 倍し、絶対値を $n$ 乗する。整数の範囲ではこの 2 行で閉じており、分数へ踏み出したところで値が枝分かれする。

参考文献

Marc Deisenroth. *Complex Numbers*. Revision Notes, Imperial College London, Department of Computing, 2017.

de Moivre's Identity. Wolfram MathWorld.

Jörn Dunkel, Jeremy Orloff. *18.04 Complex Analysis with Applications*. MIT, Spring 2019.

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ は、掛けるたびに偏角が $\theta$ 増えることのくり返しです。$n=1$ から始めて $k+1$ 乗を $k$ 乗と 1 個の積に分ければ、帰納の一段が積の規則 1 回で片づきます。負の指数は $n=-m$ と置いて逆数をとり、分母が $\cos^2+\sin^2=1$ になることから同じ形へ戻る。$(1+i)^{12}$ が $-64$、$(1+i)^{-6}$ が $\frac{i}{8}$ と 2 行で出ます。分数の指数では左辺が枝分かれし、等式が「値の 1 つ」という言い方に変わります。