内側か外側かは代入すれば分かる！二次曲線と不等式

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} < 1$ が表すのは、楕円の内側です。等号を不等号に変えるだけで、線が面になる。

どちら側かを見分ける手は 1 つ。都合のよい点を 1 つ選んで代入し、符号を確かめます。

曲線は平面を分ける

$f (x, y) = \frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} - 1$ とおきます。 $f = 0$ が楕円そのもの。

$f$ は連続な関数なので、曲線をまたがずに点を動かすかぎり符号は変わりません。またいだ瞬間だけ、 $0$ を通って符号が入れかわる。

だから曲線で区切られた 1 つの部分では、 $f$ の符号がどこでも同じ。1 点だけ調べれば、その部分全体が決まります。

原点を入れると $f (0, 0) = - 1$ 。負なので、原点を含む側が $f < 0$ 、つまり内側です。

楕円と放物線の内側

楕円は $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} < 1$ が内側、 $> 1$ が外側です^[1]。左辺が距離のような量なので、小さいほうが中心寄りになる。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ では、焦点 $(p, 0)$ を代入します。 $0 < 4 p^{2}$ なので、焦点を含む側が $y^{2} < 4 p x$ です。

準線の側は $y^{2} > 4 p x$ 。曲線が開いているほうが「内側」で、こちらのほうが直感と合います。

円で見ると当たり前になる

$x^{2} + y^{2} < r^{2}$ は、原点からの距離が $r$ より短い点の集まりです。左辺は距離の $2$ 乗そのもの。

楕円は円を縦横に伸び縮みさせた形なので、同じ話が形を変えて出てきているだけ。 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$ は、伸ばしたあとの距離にあたる量です。

この見方をしておくと、 $< 1$ が内側だと覚え直す必要がなくなる。

双曲線は 3 つに分かれる

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は 2 本の枝を持つので、平面が 3 つの部分に分かれます^[2]。

原点を入れると $0 - 0 - 1 = - 1$ で負。原点を含む真ん中の帯が $< 1$ の側です。

左右の枝がそれぞれ囲む部分は $> 1$ 。焦点はここに入ります。2 か所あるので、「外側」と呼ぶと話が混ざる。

焦点を代入すると迷わない

原点が境界の上に来る場合など、原点が使えないこともあります。そういうときは焦点を代入する。

楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ の焦点は $(5, 0)$ 。入れると $\frac{5}{9} < 1$ で、たしかに内側の値になります。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の焦点は $(5, 0)$ 。 $\frac{25}{9} > 1$ なので、枝が囲む側です。

放物線 $y^{2} = 4 x$ の焦点 $(1, 0)$ なら $0 < 4$ 。焦点はいつも、曲線が囲む側に入ります。

境界を含むかどうか

$\leq$ なら境界の曲線も領域に入ります。図では実線で描く。

$<$ なら境界は入りません。破線で描いて、含まないことを示す。

境界の点そのものを代入すると、左辺と右辺が等しくなります。 $\leq$ ならこの点も領域に入り、 $<$ なら外れる。

不等号に等号がつくかどうかで、境界の線を実線と破線で描き分ける。

図だけでは伝わらないので、言葉でも「境界を含む」と書き添えます。

例：楕円の内側と直線

$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} \leq 1$ かつ $y \geq x$ を考えます。

前半は楕円の周と内部。後半は直線 $y = x$ の上側です。

重なりは、楕円を直線で切った 2 つのうち左上のほう。直線は楕円の内部を通るので、切り口は弦になります。

代入して確かめます。 $y = x$ を楕円に入れると $\frac{x ^{2}}{4} + x^{2} = 1$ で $x^{2} = \frac{4}{5}$ 。

交点は $(\pm \frac{2}{5}, \pm \frac{2}{5})$ の 2 つ。この弦から上が答えの領域になります。

例：放物線と円

$y \geq x^{2}$ かつ $x^{2} + y^{2} \leq 6$ を考えます。放物線の内側で、なおかつ円の内部。

境界の交点を求めます。 $x^{2} = y$ を円の式に代入すると $y + y^{2} = 6$ 。

$y^{2} + y - 6 = 0$ を解いて $y = 2$ と $y = - 3$ 。 $y = x^{2} \geq 0$ なので $y = 2$ のほうだけが残ります。

交点は $(\pm 2, 2)$ 。領域はこの 2 点でつながれた、レンズのような形になります。

例：双曲線を含む連立

$x^{2} - y^{2} \geq 1$ かつ $x \leq 3$ を考えます。

前半は 2 つの枝が囲む部分の両方。後半で $x \leq 3$ を課すと、右側は $x = 3$ で切られます。

左側の枝の内部は $x \leq - 1$ の範囲にあるので、 $x \leq 3$ をつけても何も削れません。左右で条件の効き方が違う。

図に描くときは、右側の切り口だけ縦線が入ります。ここを見落としやすい。

例：2 つの曲線ではさむ

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} \leq 1$ かつ $x^{2} - y^{2} \geq 1$ を考えます。楕円の内部と、双曲線の枝の内部の共通部分。

境界どうしの交点を求めます。 $x^{2} - y^{2} = 1$ から $y^{2} = x^{2} - 1$ として、楕円の式に代入する。

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{x ^{2} - 1}{4} = 1$

分母を払うと $4 x^{2} + 9 x^{2} - 9 = 36$ で $13 x^{2} = 45$ 。 $x = \pm \frac{45}{13} \approx \pm 1.86$ です。

$y^{2} = \frac{45}{13} - 1 = \frac{32}{13}$ なので $y \approx \pm 1.57$ 。交点は 4 つあります。

領域は左右に 1 つずつ、2 つの部分に分かれる。つながっていない領域が答えになる場合もあります。

例：領域の中での最大

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} \leq 1$ の範囲で、 $x + y$ の最大値を求めます。

$x + y = k$ とおくと、これは傾き $- 1$ の直線。 $k$ を大きくすると直線が右上へ平行移動します。

領域に触れているうちで $k$ が最大になるのは、直線が楕円に接するとき。内部の点なら、まだ右上へ動かせるからです。

接する条件から $k = \pm 9 + 4 = \pm 13$ 。最大は $13$ で、接点で達します。

境界で最大になる理由

内部の点なら、値を増やす向きへまだ動ける

接する位置

これ以上動かすと領域から出てしまう。そこが限界

つまずきやすいところ

不等式を変形するとき、負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わります。分母を払う場面で起こりやすい。

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} < 1$ を「双曲線の外側」と呼ぶのも危ういところ。真ん中の帯であって、囲まれた部分ではありません。

一般形 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F$ の符号を考えるときは、まず標準形に直します^[4]。 $x y$ の項が残ったままでは、内側と外側の見当がつきません^[3]。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} < 1$ が表す領域はどれですか。

楕円の内部で、境界を含まない
楕円の内部で、境界を含む
楕円の外部で、境界を含まない

__RESULT__

原点を代入すると $0 < 1$ で成り立つので、原点を含む側です。等号がないので境界は入りません。

双曲線の側も見ます。

$x^{2} - y^{2} > 1$ が表す領域はどれですか。

原点を含む帯
左右 2 つの枝が囲む部分
平面全体から曲線を除いた部分

__RESULT__

原点を代入すると $0 > 1$ が成り立たないので、原点を含む帯ではありません。残るのは、枝がそれぞれ囲む 2 か所です。

境界の式を左辺にまとめ、点を 1 つ代入して符号を見る。手順はこれだけで、曲線の種類が変わっても変わりません。

参考文献

The Ellipse. Precalculus 2e, OpenStax.

The Hyperbola. Precalculus 2e, OpenStax.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

$x^2/9 + y^2/4 < 1$ は楕円の内側です。左辺から右辺を引いた式は連続なので、境界をまたがないかぎり符号が変わらない。だから都合のよい点を 1 つ代入すれば、その部分全体が決まります。原点が使えないときは焦点を入れる。双曲線は平面を 3 つに分け、原点を含む帯が $< 1$、枝が囲む 2 か所が $> 1$。放物線と円ではさむ領域、楕円と双曲線ではさんで 2 つに分かれる領域、領域の中で $x + y$ を最大にする位置まで。