内側か外側かは代入すれば分かる！二次曲線と不等式

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}<1$ が表すのは、楕円の内側です。等号を不等号に変えるだけで、線が面になる。

どちら側かを見分ける手は 1 つ。都合のよい点を 1 つ選んで代入し、符号を確かめます。

曲線は平面を分ける

$f(x,y)=\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1$ とおきます。$f=0$ が楕円そのもの。

$f$ は連続な関数なので、曲線をまたがずに点を動かすかぎり符号は変わりません。またいだ瞬間だけ、$0$ を通って符号が入れかわる。

だから曲線で区切られた 1 つの部分では、$f$ の符号がどこでも同じ。1 点だけ調べれば、その部分全体が決まります。

原点を入れると $f(0,0)=-1$。負なので、原点を含む側が $f<0$、つまり内側です。

楕円と放物線の内側

楕円は $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1$ が内側、$>1$ が外側です^[1]。左辺が距離のような量なので、小さいほうが中心寄りになる。

放物線 $y^2=4px$ では、焦点 $(p,0)$ を代入します。$0<4p^2$ なので、焦点を含む側が $y^2<4px$ です。

準線の側は $y^2>4px$。曲線が開いているほうが「内側」で、こちらのほうが直感と合います。

円で見ると当たり前になる

$x^2+y^2<r^2$ は、原点からの距離が $r$ より短い点の集まりです。左辺は距離の $2$ 乗そのもの。

楕円は円を縦横に伸び縮みさせた形なので、同じ話が形を変えて出てきているだけ。$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ は、伸ばしたあとの距離にあたる量です。

この見方をしておくと、$<1$ が内側だと覚え直す必要がなくなる。

双曲線は 3 つに分かれる

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ は 2 本の枝を持つので、平面が 3 つの部分に分かれます^[2]。

原点を入れると $0-0-1=-1$ で負。原点を含む真ん中の帯が $<1$ の側です。

左右の枝がそれぞれ囲む部分は $>1$。焦点はここに入ります。2 か所あるので、「外側」と呼ぶと話が混ざる。

焦点を代入すると迷わない

原点が境界の上に来る場合など、原点が使えないこともあります。そういうときは焦点を代入する。

楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の焦点は $(\sqrt{5},0)$。入れると $\frac{5}{9}<1$ で、たしかに内側の値になります。

双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の焦点は $(5,0)$。$\frac{25}{9}>1$ なので、枝が囲む側です。

放物線 $y^2=4x$ の焦点 $(1,0)$ なら $0<4$。焦点はいつも、曲線が囲む側に入ります。

境界を含むかどうか

$\le$ なら境界の曲線も領域に入ります。図では実線で描く。

$<$ なら境界は入りません。破線で描いて、含まないことを示す。

境界の点そのものを代入すると、左辺と右辺が等しくなります。$\le$ ならこの点も領域に入り、$<$ なら外れる。

例：楕円の内側と直線

$\frac{x^2}{4}+y^2\le 1$ かつ $y\ge x$ を考えます。

前半は楕円の周と内部。後半は直線 $y=x$ の上側です。

重なりは、楕円を直線で切った 2 つのうち左上のほう。直線は楕円の内部を通るので、切り口は弦になります。

代入して確かめます。$y=x$ を楕円に入れると $\frac{x^2}{4}+x^2=1$ で $x^2=\frac{4}{5}$。

交点は $\left(\pm \frac{2}{\sqrt{5}},\pm \frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ の 2 つ。この弦から上が答えの領域になります。

例：放物線と円

$y\ge x^2$ かつ $x^2+y^2\le 6$ を考えます。放物線の内側で、なおかつ円の内部。

境界の交点を求めます。$x^2=y$ を円の式に代入すると $y+y^2=6$。

$y^2+y-6=0$ を解いて $y=2$ と $y=-3$。$y=x^2\ge 0$ なので $y=2$ のほうだけが残ります。

交点は $(\pm \sqrt{2},2)$。領域はこの 2 点でつながれた、レンズのような形になります。

例：双曲線を含む連立

$x^2-y^2\ge 1$ かつ $x\le 3$ を考えます。

前半は 2 つの枝が囲む部分の両方。後半で $x\le 3$ を課すと、右側は $x=3$ で切られます。

左側の枝の内部は $x\le -1$ の範囲にあるので、$x\le 3$ をつけても何も削れません。左右で条件の効き方が違う。

図に描くときは、右側の切り口だけ縦線が入ります。ここを見落としやすい。

例：2 つの曲線ではさむ

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1$ かつ $x^2-y^2\ge 1$ を考えます。楕円の内部と、双曲線の枝の内部の共通部分。

境界どうしの交点を求めます。$x^2-y^2=1$ から $y^2=x^2-1$ として、楕円の式に代入する。

$$\frac{x^2}{9}+\frac{x^2-1}{4}=1$$

分母を払うと $4x^2+9x^2-9=36$ で $13x^2=45$。$x=\pm \sqrt{\frac{45}{13}}\approx \pm 1.86$ です。

$y^2=\frac{45}{13}-1=\frac{32}{13}$ なので $y\approx \pm 1.57$。交点は 4 つあります。

領域は左右に 1 つずつ、2 つの部分に分かれる。つながっていない領域が答えになる場合もあります。

例：領域の中での最大

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1$ の範囲で、$x+y$ の最大値を求めます。

$x+y=k$ とおくと、これは傾き $-1$ の直線。$k$ を大きくすると直線が右上へ平行移動します。

領域に触れているうちで $k$ が最大になるのは、直線が楕円に接するとき。内部の点なら、まだ右上へ動かせるからです。

接する条件から $k=\pm \sqrt{9+4}=\pm \sqrt{13}$。最大は $\sqrt{13}$ で、接点で達します。

つまずきやすいところ

不等式を変形するとき、負の数を掛けたり割ったりすると不等号の向きが変わります。分母を払う場面で起こりやすい。

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$ を「双曲線の外側」と呼ぶのも危ういところ。真ん中の帯であって、囲まれた部分ではありません。

一般形 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F$ の符号を考えるときは、まず標準形に直します^[4]。$xy$ の項が残ったままでは、内側と外側の見当がつきません^[3]。

双曲線の側も見ます。

境界の式を左辺にまとめ、点を 1 つ代入して符号を見る。手順はこれだけで、曲線の種類が変わっても変わりません。

参考文献