二次曲線と直線の共有点 - 判別式で交点の個数を決める

二次曲線と直線が何点で交わるかは、連立して $2$ 次方程式に落とし、判別式を見れば分かります。

$D > 0 \Rightarrow 2 個, D = 0 \Rightarrow 1 個, D < 0 \Rightarrow 0 個$

直線の式を曲線に代入して $1$ 文字消す。残った $2$ 次方程式の実数解の個数が、そのまま共有点の個数になります。

直線を平行に動かすと、共有点が $2$ 個から $1$ 個へ、そして $0$ 個へ変わります。下のバーが判別式の値。バーが基準線を割った瞬間に交点が消えます。

楕円で通す

$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と $y = x + k$ の共有点の個数を、 $k$ で場合分けします。

代入して分母を払います。

$x^{2} + 4 (x + k)^{2} = 4$

展開すると $x^{2} + 4 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} = 4$ 、整理して次の $2$ 次方程式になります。

$5 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} - 4 = 0$

判別式を $4$ で割った値を使います。

$\frac{D}{4} = 16 k^{2} - 5 (4 k^{2} - 4) = - 4 k^{2} + 20$

$- 4 k^{2} + 20 > 0$ は $k^{2} < 5$ 、つまり $- 5 < k < 5$ のとき $2$ 個。 $k = \pm 5$ で $1$ 個、それ以外で $0$ 個です。

接する場合の $k$ は、接線の条件 $k^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2} = 4 \cdot 1 + 1 = 5$ からも出ます。同じ値になりました。

双曲線には落とし穴がある

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ と $y = \frac{3}{2} x + k$ を連立します。この直線は漸近線と同じ傾きです。

代入して整理します。

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{1}{9} (\frac{9}{4} x^{2} + 3 k x + k^{2}) = 1$

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{x ^{2}}{4} - \frac{k x}{3} - \frac{k ^{2}}{9} = 1$ となり、 $x^{2}$ の項が消えました。

残るのは $1$ 次方程式 $- \frac{k x}{3} = 1 + \frac{k ^{2}}{9}$ 。 $k \neq = 0$ なら解が $1$ 個です。

交点は $1$ 個ですが、直線は曲線を突き抜けています。接しているわけではありません。 $k = 0$ のときは漸近線そのもので、交点が $0$ 個になります。

「共有点が $1$ 個なら接する」は成り立ちません。 $2$ 次の係数が $0$ になる場合を、判別式より先に確かめます。

場合分けの順番

代入して整理する

2 次の係数が 0 かどうかを見る

0 でなければ判別式、0 なら 1 次方程式として解く

$2$ 段目を飛ばすと、 $1$ 次方程式に判別式を当てるという誤りが起きます。文字係数の問題ではとくに注意します。

放物線でも同じ

$y^{2} = 4 x$ と $y = m x + 1$ を連立します。 $x = \frac{y - 1}{m}$ を代入するより、 $x$ を消すほうが軽い。

$y^{2} = 4 \cdot \frac{y - 1}{m} ⟹ m y^{2} - 4 y + 4 = 0$

$m = 0$ なら $y = 1$ で共有点 $1$ 個。直線が軸に平行なので、突き抜けて $1$ 点で交わります。

$m \neq = 0$ なら判別式 $\frac{D}{4} = 4 - 4 m$ 。 $m < 1$ で $2$ 個、 $m = 1$ で接して $1$ 個、 $m > 1$ で $0$ 個です。

弦の長さを出す

共有点が $2$ 個のとき、その $2$ 点を結ぶ線分を弦といいます。長さは解と係数の関係から出せます。

$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と $y = x$ の交点で試します。代入して $5 x^{2} = 4$ 、 $x = \pm \frac{2}{5}$ 。

$2$ 点は $(\frac{2}{5}, \frac{2}{5})$ と $(- \frac{2}{5}, - \frac{2}{5})$ 。距離は

$(\frac{4}{5})^{2} \times 2 = \frac{4 2}{5} = \frac{4 10}{5}$

解と係数の関係を使う

交点の座標が汚いときは、 $2$ 解を $α$ , $β$ として和と積だけで計算します。

弦の長さは $1 + m^{2} ∣ α - β ∣$ で、 $∣ α - β ∣ = (α + β)^{2} - 4 α β$ 。

さきほどの $5 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} - 4 = 0$ なら $α + β = - \frac{8 k}{5}$ , $α β = \frac{4 k ^{2} - 4}{5}$ 。

$(α - β)^{2} = \frac{64 k ^{2}}{25} - \frac{4 ( 4 k ^{2} - 4 )}{5} = \frac{64 k ^{2} - 80 k ^{2} + 80}{25} = \frac{80 - 16 k ^{2}}{25}$

$m = 1$ なので弦の長さは $2 \times \frac{80 - 16 k ^{2}}{5} = \frac{4 2 5 - k ^{2}}{5}$ です。

$k = 0$ を入れると $\frac{4 10}{5}$ で、さきほどの値と一致します。 $k = \pm 5$ で $0$ になるのは、接して $2$ 点が重なるためです。

縦の直線を忘れない

$y = m x + k$ の形では $x =$ 定数の直線が表せません。共有点の個数を問う問題では、この形も調べます。

$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と $x = t$ なら、 $y^{2} = 1 - \frac{t ^{2}}{4}$ 。 $∣ t ∣ < 2$ で $2$ 個、 $∣ t ∣ = 2$ で $1$ 個、 $∣ t ∣ > 2$ で $0$ 個です。

答案では「 $x$ 軸に垂直な直線については別に調べる」と $1$ 行入れておきます。

直線の式を代入して 2 次方程式に落とし、判別式の符号で 2 個・1 個・0 個を分けます。ただし双曲線で漸近線に平行な直線を引くと 2 次の係数が消え、1 次方程式になって交点が 1 個。接していないのに 1 個です。放物線で軸に平行な場合も同じ。弦の長さを解と係数の関係で出す方法まで扱いました。