二次曲線と直線の共有点 - 判別式で交点の個数を決める

二次曲線と直線が何点で交わるかは、連立して $2$ 次方程式に落とし、判別式を見れば分かります。

$$D>0\Rightarrow 2\text{ 個},D=0\Rightarrow 1\text{ 個},D<0\Rightarrow 0\text{ 個}$$

直線の式を曲線に代入して $1$ 文字消す。残った $2$ 次方程式の実数解の個数が、そのまま共有点の個数になります。

直線を平行に動かすと、共有点が $2$ 個から $1$ 個へ、そして $0$ 個へ変わります。下のバーが判別式の値。バーが基準線を割った瞬間に交点が消えます。

楕円で通す

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と $y=x+k$ の共有点の個数を、$k$ で場合分けします。

代入して分母を払います。

$$x^2+4(x+k{)}^2=4$$

展開すると $x^2+4x^2+8kx+4k^2=4$、整理して次の $2$ 次方程式になります。

$$5x^2+8kx+4k^2-4=0$$

判別式を $4$ で割った値を使います。

$$\frac{D}{4}=16k^2-5(4k^2-4)=-4k^2+20$$

$-4k^2+20>0$ は $k^2<5$、つまり $-\sqrt{5}<k<\sqrt{5}$ のとき $2$ 個。$k=\pm \sqrt{5}$ で $1$ 個、それ以外で $0$ 個です。

接する場合の $k$ は、接線の条件 $k^2=a^2{m}^2+b^2=4\cdot 1+1=5$ からも出ます。同じ値になりました。

双曲線には落とし穴がある

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ と $y=\frac{3}{2}x+k$ を連立します。この直線は漸近線と同じ傾きです。

代入して整理します。

$$\frac{x^2}{4}-\frac{1}{9}\left(\frac{9}{4}{x}^2+3kx+k^2\right)=1$$

$\frac{x^2}{4}-\frac{x^2}{4}-\frac{kx}{3}-\frac{k^2}{9}=1$ となり、$x^2$ の項が消えました。

残るのは $1$ 次方程式 $-\frac{kx}{3}=1+\frac{k^2}{9}$。$k\ne 0$ なら解が $1$ 個です。

交点は $1$ 個ですが、直線は曲線を突き抜けています。接しているわけではありません。$k=0$ のときは漸近線そのもので、交点が $0$ 個になります。

「共有点が $1$ 個なら接する」は成り立ちません。$2$ 次の係数が $0$ になる場合を、判別式より先に確かめます。

場合分けの順番

$2$ 段目を飛ばすと、$1$ 次方程式に判別式を当てるという誤りが起きます。文字係数の問題ではとくに注意します。

放物線でも同じ

$y^2=4x$ と $y=mx+1$ を連立します。$x=\frac{y-1}{m}$ を代入するより、$x$ を消すほうが軽い。

$$y^2=4\cdot \frac{y-1}{m}⟹m{y}^2-4y+4=0$$

$m=0$ なら $y=1$ で共有点 $1$ 個。直線が軸に平行なので、突き抜けて $1$ 点で交わります。

$m\ne 0$ なら判別式 $\frac{D}{4}=4-4m$。$m<1$ で $2$ 個、$m=1$ で接して $1$ 個、$m>1$ で $0$ 個です。

弦の長さを出す

共有点が $2$ 個のとき、その $2$ 点を結ぶ線分を弦といいます。長さは解と係数の関係から出せます。

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と $y=x$ の交点で試します。代入して $5x^2=4$、$x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$。

$2$ 点は $\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$ と $\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。距離は

$$\sqrt{{\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)}^2\times 2}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$$

解と係数の関係を使う

交点の座標が汚いときは、$2$ 解を $\alpha$, $\beta$ として和と積だけで計算します。

弦の長さは $\sqrt{1+m^2}|\alpha -\beta |$ で、$|\alpha -\beta |=\sqrt{(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta }$。

さきほどの $5x^2+8kx+4k^2-4=0$ なら $\alpha +\beta =-\frac{8k}{5}$, $\alpha \beta =\frac{4k^2-4}{5}$。

$$(\alpha -\beta {)}^2=\frac{64k^2}{25}-\frac{4(4k^2-4)}{5}=\frac{64k^2-80k^2+80}{25}=\frac{80-16k^2}{25}$$

$m=1$ なので弦の長さは $\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{80-16k^2}}{5}=\frac{4\sqrt{2}\sqrt{5-k^2}}{5}$ です。

$k=0$ を入れると $\frac{4\sqrt{10}}{5}$ で、さきほどの値と一致します。$k=\pm \sqrt{5}$ で $0$ になるのは、接して $2$ 点が重なるためです。

縦の直線を忘れない

$y=mx+k$ の形では $x=$ 定数 の直線が表せません。共有点の個数を問う問題では、この形も調べます。

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と $x=t$ なら、$y^2=1-\frac{t^2}{4}$。$|t|<2$ で $2$ 個、$|t|=2$ で $1$ 個、$|t|>2$ で $0$ 個です。

答案では「$x$ 軸に垂直な直線については別に調べる」と $1$ 行入れておきます。