アルキメデスが 4/3 にたどり着いた放物線の弓形の面積

放物線と直線で囲まれた部分の面積は、そこに内接する三角形のちょうど $\frac{4}{3}$ 倍になります^[1]。

$\frac{4}{3}$ という値は、放物線の形にも弦のとり方にもよりません。積分のなかった時代に、アルキメデスがこの比を出した。

弓形と内接三角形

放物線を 1 本の直線で切ります。切りとられた部分を弓形と呼ぶ。

弦の両端を $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ とし、3 つめの頂点 $\mathrm{C}$ を放物線の上にとります。$\mathrm{C}$ は、弦と平行な接線の接点。

$\mathrm{C}$ の $x$ 座標は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の中点にあたります。放物線では、平行な弦の中点が 1 本の直線に並ぶためです。

この $\mathrm{C}$ をとると、三角形 $\mathrm{ABC}$ が弓形の中でいちばん大きくなります^[1]。

1 の 6 分の 1 公式で面積を出す

放物線を $y=a(x-\alpha )(x-\beta )+(\text{直線})$ の形に整理すると、差が因数分解された式になります。

$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta )dx=-\frac{1}{6}(\beta -\alpha {)}^3$$

だから弓形の面積は $S=\frac{|a|}{6}(\beta -\alpha {)}^3$。$\frac{1}{6}$ 公式と呼ばれる形です。

三角形の面積

$\mathrm{C}$ の $x$ 座標は $\frac{\alpha +\beta }{2}$。ここでの放物線と直線の縦の差を出す。

$$|a|{\left(\frac{\beta -\alpha }{2}\right)}^2=\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^2}{4}$$

底辺を横幅 $\beta -\alpha$、高さをこの縦の差とみなすと、三角形の面積が出ます。

$$T=\frac{1}{2}(\beta -\alpha )\cdot \frac{|a|(\beta -\alpha {)}^2}{4}=\frac{|a|(\beta -\alpha {)}^3}{8}$$

割り算します。$\frac{S}{T}=\frac{1/6}{1/8}=\frac{4}{3}$。$a$ も $\beta -\alpha$ も約分されて消えました^[1]。

アルキメデスの詰め方

三角形を 1 つ入れると、隙間が 2 つ残ります。その隙間にも同じ手順で三角形を入れる。

新しくできた 2 つの三角形の面積の合計は、前の三角形の $\frac{1}{4}$ になります。弦の幅が半分になるので、${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ が 2 つぶんで $\frac{1}{4}$。

いつまでも続けると、合計は等比級数になります。

$$T+\frac{T}{4}+\frac{T}{16}+\cdots =\frac{T}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4T}{3}$$

$\frac{4}{3}$ が出ました。公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比級数、という高校の数列の話にそのままつながります。

例：$y=x^2$ と $y=x+2$

交点は $x^2=x+2$ を解いて $x=-1$ と $x=2$。$a=1$、$\beta -\alpha =3$ です。

弓形の面積は $\frac{1}{6}\times 27=4.5$。

$\mathrm{C}$ の $x$ 座標は $0.5$ で、放物線の値が $0.25$、直線の値が $2.5$。縦の差は $2.25$ です。

三角形の面積は $\frac{1}{2}\times 3\times 2.25=3.375$。比は $\frac{4.5}{3.375}=\frac{4}{3}$ で合いました。

例：通径で切る

$y^2=4x$ を $x=1$ で切ります。焦点を通る縦の弦なので、長さは通径の $4$。

弓形の面積を $y$ で積分します。

$${\int }_{-2}^2\left(1-\frac{y^2}{4}\right)dy={\left[y-\frac{y^3}{12}\right]}_{-2}^2=\frac{8}{3}$$

三角形の頂点は $(0,0)$、$(1,2)$、$(1,-2)$ で、面積は $\frac{1}{2}\times 4\times 1=2$。

比は $\frac{8/3}{2}=\frac{4}{3}$。軸に垂直な弦でも、やはり同じ値です。

斜めの弦でも変わらない

弦が軸に垂直でなくても $\frac{4}{3}$ のまま。これがこの定理の強いところです。

理由は、平面を横にずらす変換で確かめられます。$(x,y)$ を $(x,y-mx)$ へ写すと、斜めの弦が水平になる。

この変換で面積は変わらない。放物線は放物線のまま写るので、水平な弦の場合に帰着できます。

楕円や双曲線では成り立たない

同じことを楕円でやっても、比は $\frac{4}{3}$ になりません。弦のとり方で変わってしまう。

放物線だけが特別なのは、どの放物線も拡大縮小で重ね合わせられるためです^[2]。離心率が $1$ しかないので、形の種類が 1 つしかない。

楕円は $\frac{b}{a}$ の値だけ形の種類があり、双曲線も同じ。そのぶん、比が一定になる余地がありません^[3]。

つまずきやすいところ

$\frac{1}{6}$ 公式の $a$ は、放物線の $x^2$ の係数です。直線の傾きは入らない。差をとると 1 次の項が消えるためです。

三角形の高さを「点と直線の距離」で出そうとすると計算が重くなる。縦の差と横幅で出すほうが速い。

$\frac{4}{3}$ は弓形と三角形の比であって、弓形と長方形の比ではありません。$\frac{2}{3}$ という別の比と混ざりやすい。

比のほうも確かめます。

三角形を 1 つ入れて、隙間に入れて、また入れる。無限に続く手順の答えが $\frac{4}{3}$ という有限の値になるところが、この定理の見どころです^[4]。

参考文献