アルキメデスが 4/3 にたどり着いた放物線の弓形の面積

放物線と直線で囲まれた部分の面積は、そこに内接する三角形のちょうど $\frac{4}{3}$ 倍になります^[1]。

$\frac{4}{3}$ という値は、放物線の形にも弦のとり方にもよりません。積分のなかった時代に、アルキメデスがこの比を出した。

弓形と内接三角形

放物線を 1 本の直線で切ります。切りとられた部分を弓形と呼ぶ。

弦の両端を $A$ 、 $B$ とし、3 つめの頂点 $C$ を放物線の上にとります。 $C$ は、弦と平行な接線の接点。

$C$ の $x$ 座標は $A$ と $B$ の中点にあたります。放物線では、平行な弦の中点が 1 本の直線に並ぶためです。

この $C$ をとると、三角形 $ABC$ が弓形の中でいちばん大きくなります^[1]。

1 の 6 分の 1 公式で面積を出す

放物線を $y = a (x - α) (x - β) + (直線)$ の形に整理すると、差が因数分解された式になります。

$\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = - \frac{1}{6} (β - α)^{3}$

だから弓形の面積は $S = \frac{∣ a ∣}{6} (β - α)^{3}$ 。 $\frac{1}{6}$ 公式と呼ばれる形です。

三角形の面積

$C$ の $x$ 座標は $\frac{α + β}{2}$ 。ここでの放物線と直線の縦の差を出す。

$∣ a ∣ (\frac{β - α}{2})^{2} = \frac{∣ a ∣ ( β - α ) ^{2}}{4}$

底辺を横幅 $β - α$ 、高さをこの縦の差とみなすと、三角形の面積が出ます。

$T = \frac{1}{2} (β - α) \cdot \frac{∣ a ∣ ( β - α ) ^{2}}{4} = \frac{∣ a ∣ ( β - α ) ^{3}}{8}$

割り算します。 $\frac{S}{T} = \frac{1/6}{1/8} = \frac{4}{3}$ 。 $a$ も $β - α$ も約分されて消えました^[1]。

比が $\frac{4}{3}$ に固定されるのは、どちらの面積も $(β - α)^{3}$ に比例するからです。

係数だけが $\frac{1}{6}$ と $\frac{1}{8}$ で違う。弦を長くしても短くしても、比は動きません。

アルキメデスの詰め方

三角形を 1 つ入れると、隙間が 2 つ残ります。その隙間にも同じ手順で三角形を入れる。

新しくできた 2 つの三角形の面積の合計は、前の三角形の $\frac{1}{4}$ になります。弦の幅が半分になるので、 $(\frac{1}{2})^{3}$ が 2 つぶんで $\frac{1}{4}$ 。

いつまでも続けると、合計は等比級数になります。

$T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \dots = \frac{T}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4 T}{3}$

$\frac{4}{3}$ が出ました。公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比級数、という高校の数列の話にそのままつながります。

例： $y = x^{2}$ と $y = x + 2$

交点は $x^{2} = x + 2$ を解いて $x = - 1$ と $x = 2$ 。 $a = 1$ 、 $β - α = 3$ です。

弓形の面積は $\frac{1}{6} \times 27 = 4.5$ 。

$C$ の $x$ 座標は $0.5$ で、放物線の値が $0.25$ 、直線の値が $2.5$ 。縦の差は $2.25$ です。

三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 2.25 = 3.375$ 。比は $\frac{4.5}{3.375} = \frac{4}{3}$ で合いました。

例：通径で切る

$y^{2} = 4 x$ を $x = 1$ で切ります。焦点を通る縦の弦なので、長さは通径の $4$ 。

弓形の面積を $y$ で積分します。

$\int_{- 2}^{2} (1 - \frac{y ^{2}}{4}) d y = [y - \frac{y ^{3}}{12}]_{- 2}^{2} = \frac{8}{3}$

三角形の頂点は $(0, 0)$ 、 $(1, 2)$ 、 $(1, - 2)$ で、面積は $\frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$ 。

比は $\frac{8/3}{2} = \frac{4}{3}$ 。軸に垂直な弦でも、やはり同じ値です。

斜めの弦でも変わらない

弦が軸に垂直でなくても $\frac{4}{3}$ のまま。これがこの定理の強いところです。

理由は、平面を横にずらす変換で確かめられます。 $(x, y)$ を $(x, y - m x)$ へ写すと、斜めの弦が水平になる。

この変換で面積は変わらない。放物線は放物線のまま写るので、水平な弦の場合に帰着できます。

弦を長くする

弓形も三角形も $(β - α)^{3}$ で増える。比は動かない

弦を傾ける

面積を保つ変換で水平に直せる。やはり比は動かない

楕円や双曲線では成り立たない

同じことを楕円でやっても、比は $\frac{4}{3}$ になりません。弦のとり方で変わってしまう。

放物線だけが特別なのは、どの放物線も拡大縮小で重ね合わせられるためです^[2]。離心率が $1$ しかないので、形の種類が 1 つしかない。

楕円は $\frac{b}{a}$ の値だけ形の種類があり、双曲線も同じ。そのぶん、比が一定になる余地がありません^[3]。

つまずきやすいところ

$\frac{1}{6}$ 公式の $a$ は、放物線の $x^{2}$ の係数です。直線の傾きは入らない。差をとると 1 次の項が消えるためです。

三角形の高さを「点と直線の距離」で出そうとすると計算が重くなる。縦の差と横幅で出すほうが速い。

$\frac{4}{3}$ は弓形と三角形の比であって、弓形と長方形の比ではありません。 $\frac{2}{3}$ という別の比と混ざりやすい。

$y = x^{2}$ と $y = 4$ で囲まれた部分の面積はどれですか。

$\frac{16}{3}$
$\frac{32}{3}$
$16$

__RESULT__

交点は $x = \pm 2$ なので $β - α = 4$ 。 $\frac{1}{6} \times 64 = \frac{32}{3}$ です。

比のほうも確かめます。

放物線と弦で囲まれた弓形の面積が $12$ でした。内接する三角形の面積はどれですか。

$9$
$16$
$8$

__RESULT__

弓形が三角形の $\frac{4}{3}$ 倍なので、三角形は $12 \times \frac{3}{4} = 9$ です。

三角形を 1 つ入れて、隙間に入れて、また入れる。無限に続く手順の答えが $\frac{4}{3}$ という有限の値になるところが、この定理の見どころです^[4]。

参考文献

Parabolic Segment. Wolfram MathWorld.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

放物線を直線で切った弓形の面積は、内接する三角形のちょうど $4/3$ 倍。放物線の形にも弦のとり方にもよりません。$1/6$ 公式で弓形が $|a|(\beta-\alpha)^3/6$、三角形が $|a|(\beta-\alpha)^3/8$ になり、割ると係数だけが残るためです。隙間に三角形を詰め続けると各段が前段の $1/4$ になり、公比 $1/4$ の等比級数の和がそのまま $4/3$。楕円や双曲線でこの比が一定にならない理由まで。