y = x で折り返すと縦横が入れかわる｜二次曲線の対称移動

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ を直線 $y = x$ で折り返すと、 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ になります。

横長だった楕円が縦長に変わる。 $x$ と $y$ を入れかえるだけの操作ですが、曲線の見た目は大きく変わります。

4 つの対称移動

対称移動は、式の中の文字を置きかえるだけで書けます。

どこで折り返すか	置きかえ	点の移り先
$x$ 軸	$y$ を $- y$ に	$(p, - q)$
$y$ 軸	$x$ を $- x$ に	$(- p, q)$
原点	両方の符号を変える	$(- p, - q)$
直線 $y = x$	$x$ と $y$ を入れかえる	$(q, p)$

置きかえた式が、移した先の曲線の式。もとの式に $(p, q)$ を入れて成り立つなら、置きかえた式には移り先の座標が入るからです。

標準形はもともと対称

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ には $x^{2}$ と $y^{2}$ しか出てきません。

$x$ を $- x$ にしても $y$ を $- y$ にしても、式は変わらない。だから $x$ 軸・ $y$ 軸・原点のどれで折り返しても、自分自身に重なります^[1]。

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ も同じ。中心を持つ曲線は、この 3 つの対称性を持ちます。

$2$ 乗しか出てこない式が符号の変更に強いのは、 $(- x)^{2} = x^{2}$ だからです。

$1$ 次の項が入ると崩れます。 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ は $y$ 軸で折り返すと別の円になる。

$y = x$ だけは形を変える

$x$ と $y$ を入れかえると、 $a^{2}$ と $b^{2}$ の位置が入れかわります。 $a \neq = b$ なら別の曲線になる。

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ の焦点は $(\pm 5, 0)$ 。折り返した先の焦点は $(0, \pm 5)$ になります。

焦点の座標も、入れかえの規則どおりに移りました。長軸が横から縦へ向きを変えたことに対応しています。

双曲線は開く向きが変わる

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ を $y = x$ で折り返すと $\frac{y ^{2}}{4} - \frac{x ^{2}}{9} = 1$ 。

左右に開いていた双曲線が、上下に開く形になります。漸近線は $y = \pm \frac{3}{2} x$ から $y = \pm \frac{2}{3} x$ へ。

傾きが逆数になりました。 $y = x$ に関する対称移動では、直線の傾きが逆数に移ります。

$x y = 1$ は自分自身に移る

$x y = 1$ で $x$ と $y$ を入れかえると $y x = 1$ 。同じ式です。

この双曲線は $y = x$ について対称。 $y = x$ が対称軸の 1 本になっている、ということです。

$x$ 軸で折り返すと $x (- y) = 1$ 、つまり $x y = - 1$ 。こちらは第 2 象限と第 4 象限にいる別の双曲線になります^[2]。

放物線と逆関数

$y = x^{2}$ を $y = x$ で折り返すと $x = y^{2}$ 。 $x \geq 0$ の部分に限れば $y = x$ です。

$y = f (x)$ と $y = f^{- 1} (x)$ のグラフが $y = x$ について対称、という話とぴったり重なります。

$y^{2} = 4 x$ なら折り返して $x^{2} = 4 y$ 、つまり $y = \frac{x ^{2}}{4}$ 。右に開く放物線が上に開く放物線になりました。

一般の直線で折り返す

$y = x$ 以外の直線に関する対称移動は、2 つの条件で求めます。中点がその直線の上にあることと、結んだ線分が直線と垂直なこと。

例として、直線 $y = 2 x$ に関する $(3, 1)$ の対称点を出します。移り先を $(a, b)$ とする。

中点 $(\frac{3 + a}{2}, \frac{1 + b}{2})$ が $y = 2 x$ の上にあるので $1 + b = 2 (3 + a)$ 。

垂直の条件は $\frac{b - 1}{a - 3} = - \frac{1}{2}$ 、整理して $a = 5 - 2 b$ 。

2 つを連立すると $b = 3$ 、 $a = - 1$ 。対称点は $(- 1, 3)$ です。中点 $(1, 2)$ は $y = 2 x$ の上にあり、傾きも $- \frac{1}{2}$ で合う。

2 回折り返すと回転になる

$x$ 軸で折り返してから $y$ 軸で折り返すと、 $(p, q)$ が $(- p, - q)$ へ移ります。原点対称、つまり $18 0^{\circ}$ の回転です。

$y = x$ で折り返してから $x$ 軸で折り返すと、 $(p, q)$ が $(q, - p)$ 。これは $9 0^{\circ}$ 回した形になります。

裏返しを 2 回すると表に戻る。対称移動を 2 つ重ねると、必ず回転か平行移動になります^[3]。

平行移動と回転

向きを保ったまま動かす。重ねると同じ仲間のまま

対称移動

裏返す。2 回重ねると回転に変わる

中心があるかないか

楕円と双曲線は原点対称です。中心のまわりで $18 0^{\circ}$ 回すと自分に重なる。

放物線 $y^{2} = 4 x$ で $x$ と $y$ の符号を両方変えると $y^{2} = - 4 x$ になり、左に開く別の放物線です。

原点対称でないので、放物線には中心がありません。対称性の違いが、中心の有無にそのまま出ています^[4]。

つまずきやすいところ

$y = x$ に関する対称移動で、 $y = f (x)$ を $y = f^{- 1} (x)$ と書き替えるとき、定義域と値域も入れかわります。

$x$ 軸に関する対称移動を「 $y$ の符号を変える」と覚えるところで、 $y = f (x)$ を $- y = f (x)$ 、つまり $y = - f (x)$ とする手順を飛ばしやすい。

図で確かめると確実。折り返す直線の上にある点は動かない、という性質でも検算できます。

$\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ を直線 $y = x$ で折り返した曲線はどれですか。

$\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{4} = 1$
$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$
$\frac{y ^{2}}{4} - \frac{x ^{2}}{16} = 1$

__RESULT__

$x$ と $y$ を入れかえるので、 $x^{2}$ の位置に $y^{2}$ が来ます。上下に開く双曲線になりました。

対称性のほうも確かめます。

$x y = 1$ が自分自身に重なる対称移動はどれですか。

$x$ 軸で折り返す
直線 $y = x$ で折り返す
$y$ 軸で折り返す

__RESULT__

入れかえても $y x = 1$ で同じ式です。 $x$ 軸なら $x y = - 1$ になり、別の双曲線に移ります。

置きかえるだけで曲線が動く。対称移動は、式の対称性をそのまま図形の対称性として読む操作です。

出典

The Ellipse. Precalculus 2e, OpenStax.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

The Hyperbola. Precalculus 2e, OpenStax.

$x^2/9 + y^2/4 = 1$ を $y = x$ で折り返すと $x^2/4 + y^2/9 = 1$。焦点も $(\pm\sqrt5, 0)$ から $(0, \pm\sqrt5)$ へ移ります。標準形は $2$ 乗しか出てこないので、$x$ 軸でも $y$ 軸でも原点でも自分自身に重なる。形が変わるのは $y = x$ のときだけです。$xy = 1$ が $y = x$ 対称になる理由、$y = x^2$ と $y = \sqrt{x}$ が逆関数として向かい合う話、対称移動を 2 回重ねると回転になる話まで。