円錐を切ると焦点が出てくる……ダンデリンの球

二次曲線という名前は、$2$ 次方程式から来ています。円錐曲線というもう 1 つの名前は、円錐を平面で切った断面から来ている^[1]。

切り口として定義された曲線と、焦点からの距離で定義された曲線が、なぜ同じものになるのか。円錐の中に球を入れると、その理由が目に見える形で出てきます。

切る角度で種類が決まる

無限に伸びた 2 つの円錐が、頂点でつながった形を考えます。母線が軸となす角を $\alpha$、切断面が軸となす角を $\beta$ とする^[1]。

$\beta =90^{\circ }$ なら軸に垂直な切り口で、出てくるのは円。そこから平面を傾けていきます。

$\alpha <\beta <90^{\circ }$ のあいだは、平面が片方の円錐だけを切り、閉じた曲線になる。楕円です。

$\beta =\alpha$ になると平面が母線と平行になり、切り口は閉じなくなります。放物線。

$0\le \beta <\alpha$ では平面が両方の円錐を切り、2 つに分かれた曲線が出ます。双曲線です^[1]。

平面が頂点を通る場合は別扱いになります。切り口は 1 点になったり、1 本の直線や交わる 2 直線になったりする^[1]。

円錐の中に球を入れる

切り口が「焦点からの距離が一定」という条件を満たすことは、まだ示していません。ここでダンデリンの球が出てきます^[1]。

切断面と円錐の母線の両方に接する球を、円錐の内側に入れます。楕円の場合は、平面の上と下に 1 個ずつ入る。

上の球は平面に点 ${\mathrm{F}}_1$ で接し、円錐には円 $k_1$ に沿って接します。下の球も同じで、接点が ${\mathrm{F}}_2$、接触円が $k_2$。

この ${\mathrm{F}}_1$ と ${\mathrm{F}}_2$ が焦点になります^[1]。

距離の和が一定になる

切り口の上に点 $\mathrm{P}$ をとります。頂点 $\mathrm{S}$ と $\mathrm{P}$ を結ぶ母線は、$k_1$ と $k_2$ をそれぞれ 1 点で切る。その点を ${\mathrm{B}}_1$、${\mathrm{B}}_2$ とします。

${\mathrm{PF}}_1$ と ${\mathrm{PB}}_1$ は、どちらも $\mathrm{P}$ から同じ球へ引いた接線です。1 つの点から球に引いた接線の長さは、どの向きでも等しい。

$${\mathrm{PF}}_1={\mathrm{PB}}_1,{\mathrm{PF}}_2={\mathrm{PB}}_2$$

足すと ${\mathrm{PF}}_1+{\mathrm{PF}}_2={\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$。これは 2 つの接触円にはさまれた母線の長さです^[1]。

円錐は回転対称なので、この長さは $\mathrm{P}$ をどこにとっても変わりません。距離の和が一定、つまり楕円の定義そのもの。

双曲線でも同じ手が通る

双曲線のときは、上下 2 つの円錐にそれぞれ球を入れます。平面が両方を切っているので、球も両側に入る^[1]。

このとき ${\mathrm{PB}}_1={\mathrm{PB}}_2+{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$ という関係になり、和ではなく差が残ります。

$${\mathrm{PF}}_1-{\mathrm{PF}}_2={\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$$

差が一定。双曲線の定義が出てきました。

放物線では球が 1 個

切断面が母線と平行なとき、球は 1 個しか入りません。この球が平面に接する点が焦点 $\mathrm{F}$ になります^[1]。

接触円 $k$ を含む平面を $E_0$ とし、切断面 $E$ との交線を $f$ とします。この $f$ が準線です。

$\mathrm{PF}=\mathrm{PB}$ はこれまでと同じ。あとは $\mathrm{PB}$ が、$\mathrm{P}$ から $f$ までの距離と等しいことを見ればよい。

母線が $E_0$ となす角と、切断面が $E_0$ となす角が、この場合ちょうど等しくなります。だから 2 つの長さが一致する。

離心率を角度で書く

同じ計算を一般の角度でやると、離心率が出てきます。$\mathrm{P}$ から平面 $E_0$ までの高さを $h$、準線までの距離を $d$ とする。

母線は $E_0$ と $90^{\circ }-\alpha$ の角をなすので、$\mathrm{PB}=\frac{h}{\cos \alpha }$。

切断面 $E$ と $E_0$ のなす角は $90^{\circ }-\beta$ なので、$h=d\cos \beta$。

$$e=\frac{\mathrm{PF}}{d}=\frac{\mathrm{PB}}{d}=\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }$$

角度だけで離心率が決まりました。焦点からの距離と準線までの距離の比、という定義とつながります^[2]。

3 つの場合を確かめる

$\beta =90^{\circ }$ なら $\cos \beta =0$ で $e=0$。円です。

$\beta =\alpha$ なら分母と分子が同じで $e=1$。放物線になります。

$\beta <\alpha$ なら $\cos \beta >\cos \alpha$ で $e>1$。双曲線です。$\alpha <\beta <90^{\circ }$ のあいだは $e<1$ で楕円。

角度の話と距離の話が、$e=\frac{\cos \beta }{\cos \alpha }$ の 1 本でつながりました。

名前の由来

この方法を考えたのは、ベルギーの数学者ジェルミナル・ピエール・ダンデリン。$1794$ 年から $1847$ 年の人です^[1]。

円錐曲線をとくに研究し、球を使ったこの証明を残しました。図が単純なわりに、示せることが多い。

円錐と平面という立体の話が、球 2 個で平面の距離の話に落ちる。そこがこの証明の見どころです^[4]。

球の役割も確かめます。

円錐を切る、という素朴な作り方と、焦点までの距離という代数的な定義。球を 2 つ入れるだけで、この 2 つが同じものだと分かります^[3]。

出典