二次曲線の平行移動、平方完成で標準形へ戻す高校数学
曲線を 方向に 、 方向に だけ動かすには、式の を に、 を に置きかえます。
動かす向きと符号が逆になる点が引っかかりやすいところ。右へ 動かすなら です。
破線がもとの位置、実線が動かしたあと。形も大きさも変わらず、中心だけが へ移ります。 と には手が入りません。
展開された式から戻す
問題では平行移動したあとの式が展開された形で与えられます。平方完成で標準形に戻す作業が入口になります。
を整理してみます。 と をそれぞれまとめます。
括弧の中を平方完成します。、。
。両辺を で割ります。
中心 、, の縦長の楕円でした。
括弧の外に出した数を戻す
いちばん多い誤りが、 や でくくったあとの定数の扱いです。 の は、括弧の外へ出すと になります。
と を右辺へ移すので、右辺は 。くくった係数を掛け忘れると、右辺の値がずれます。
平方完成のあとに 度、括弧を展開し直して検算する。手間ですが確実です。
どの曲線かを見分ける
平方完成する前に、 と の係数を見ればおおよそ決まります。
は と が同符号で値が違うので楕円。 なら異符号で双曲線です。
のように がなければ放物線。この判定を最初に置くと、平方完成の途中で迷いません。
双曲線の例
を直します。異符号なので双曲線と分かります。
。ここで になる点に注意します。
。 で割って
中心 、, 。頂点は と 、漸近線は です。
放物線の例
を直します。 がないので放物線。 だけ平方完成します。
。頂点 、 で 。
焦点は頂点から右へ の 、準線は です。
焦点や漸近線も同じだけ動く
平行移動しても、焦点と中心の相対位置は変わりません。標準形での焦点を求めてから、中心のぶんだけ足します。
なら、 で縦長。 なので、標準形での焦点は 。
中心 を足して、実際の焦点は です。
漸近線も同じで、 が に変わります。中心を通る 直線という性質は保たれます。
移動の向きを確かめる
を右へ 動かすと 。 を入れると で、頂点が に来ています。
符号が逆になる理由は、置きかえの意味を追うと分かります。新しい曲線の点 は、もとの曲線の点 が移ってきたもの。だから、もとの式に を入れます。
方向も同じです。上へ なら を代入して 、つまり になります。
