距離の比なら円、和なら楕円、差なら双曲線になる

2 つの定点 $A$ 、 $B$ を決め、そこからの距離に条件をつけて点を動かします。

和を一定にすれば楕円、差を一定にすれば双曲線。では比を一定にすると何が出るか。答えは円です^[1]。

比を一定にすると円になる

$A (- c, 0)$ 、 $B (c, 0)$ とし、 $\frac{PA}{PB} = k$ とします。 $k$ は $1$ でない正の数。

両辺を 2 乗して分母を払います。

$(x + c)^{2} + y^{2} = k^{2} [(x - c)^{2} + y^{2}]$

$x^{2} + y^{2}$ の係数が $1 - k^{2}$ でそろうので、割ると円の式になります。

$x^{2} + y^{2} + \frac{2 c ( 1 + k ^{2} )}{1 - k ^{2}} x + c^{2} = 0$

中心は $(- \frac{c ( 1 + k ^{2} )}{1 - k ^{2}}, 0)$ 、半径は $\frac{2 c k}{∣1 - k ^{2} ∣}$ 。アポロニウスの円と呼ばれます^[1]。

$k = 1$ のときは $x^{2} + y^{2}$ の項が消え、 $AB$ の垂直二等分線という直線になります。

$k = 1$ で円が直線に化けるのは、2 乗の項の係数が $0$ になるからです。

$k$ を $1$ に近づけると円はどんどん大きくなり、極限で直線に開きます。

例：比が $2$ の円

$A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ 、 $k = 2$ とします。 $c = 1$ を入れる。

中心は $- \frac{1 \times 5}{1 - 4} = \frac{5}{3}$ 、半径は $\frac{2 \times 2}{3} = \frac{4}{3}$ です。

$x$ 軸との交点を見ます。 $\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3$ では $PA = 4$ 、 $PB = 2$ で比は $2$ 。

$\frac{5}{3} - \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$ では $PA = \frac{4}{3}$ 、 $PB = \frac{2}{3}$ 。こちらも $2$ です。

直径の両端は内分点と外分点

この 2 つの交点には意味があります。 $AB$ を $k : 1$ に内分する点と、外分する点。

$∠ APB$ の内角の二等分線が $AB$ を切る位置が内分点、外角の二等分線が切る位置が外分点。角の二等分線の定理そのものです。

内分点と外分点を直径の両端とする円が、アポロニウスの円になります。座標を置かずに作図で出せる。

さきほどの例なら、内分点が $\frac{1}{3}$ 、外分点が $3$ 。中点の $\frac{5}{3}$ が中心で、半分の $\frac{4}{3}$ が半径です。

和と差の場合

和を一定にすると楕円になります^[2]。ただし $PA + PB > AB$ でないと点がありません。

差を一定にすると双曲線^[3]。今度は $∣ PA - PB ∣ < AB$ が条件です。

どちらも等号のときは、線分そのものや半直線という退化した図形になる。

条件	軌跡	退化するとき
比が一定	円	$k = 1$ で垂直二等分線
和が一定	楕円	和が $AB$ に等しいと線分
差が一定	双曲線	差が $AB$ に等しいと半直線 2 本
積が一定	卵形線	$4$ 次曲線で、二次曲線ではない

積だけ仲間はずれ

$PA \cdot PB$ を一定にすると、出てくるのはカッシーニの卵形線です。

$[(x + c)^{2} + y^{2}] [(x - c)^{2} + y^{2}] = m^{4}$

左辺を展開すると $4$ 次式が残ります。 $2$ 乗を消しきれないので、二次曲線にはならない。

$m = c$ のときは $8$ の字の形になり、レムニスケートと呼ばれます。和・差・比の 3 つだけが二次曲線の側にいる。

相手が直線なら二次曲線がそろう

比を一定にする相手を、点から直線に変えます。定点 $F$ までの距離と、定直線までの距離の比。

この比が離心率で、値によって楕円・放物線・双曲線の 3 つが出そろいます^[4]。

比の相手が点なら円 1 種類。直線なら二次曲線が 3 種類。相手を替えるだけで、出てくる図形の幅が変わります。

それぞれの族の重なり方

比を一定にした円の族は、 $A$ も $B$ も通りません。 $k$ を動かすと、 $A$ を囲む円と $B$ を囲む円に分かれる。

和を一定にした楕円の族は、 $A$ と $B$ を 2 つとも内側に入れる。

差を一定にした双曲線の族は、 $A$ と $B$ を左右に分けます。同じ 2 点から出発しても、条件の形で囲み方が変わる。

比の族

$A$ 寄りの円と $B$ 寄りの円に分かれる

和と差の族

和は 2 点を囲み、差は 2 点を分ける

つまずきやすいところ

$\frac{PA}{PB} = k$ を 2 乗するとき、 $k$ が正であることを使っています。負の比は考えない。

$k = 1$ を式に入れると分母が $0$ になります。円の中心の式は $k = 1$ で使えないので、はじめから直線として扱う。

和や差の条件では、成り立つ範囲を確かめる。 $PA + PB = 1$ で $AB = 3$ なら、そんな点は 1 つもありません^[2]。

$A (- 2, 0)$ 、 $B (2, 0)$ で $\frac{PA}{PB} = 3$ を満たす点の軌跡はどれですか。

中心 $(\frac{5}{2}, 0)$ 、半径 $\frac{3}{2}$ の円
中心 $(0, 0)$ 、半径 $3$ の円
直線 $x = 0$

__RESULT__

中心は $- \frac{2 \times 10}{1 - 9} = \frac{5}{2}$ 、半径は $\frac{2 \times 2 \times 3}{8} = \frac{3}{2}$ です。 $x = 0$ になるのは比が $1$ のときになります。

条件の種類も確かめます。

2 定点からの距離の積を一定にすると、どんな曲線が出ますか。

楕円
双曲線
二次曲線ではない $4$ 次曲線

__RESULT__

積の条件では $2$ 乗が消えず、 $4$ 次式が残ります。カッシーニの卵形線と呼ばれる曲線です。

和、差、比。3 つの条件がそれぞれ別の曲線を作り、積だけが仲間から外れる。同じ 2 点から、これだけ違う形が出てきます。

参考文献

Apollonius Circle. Wolfram MathWorld.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

2 定点からの距離を、和で縛れば楕円、差で縛れば双曲線。比で縛ると円が出てきます。アポロニウスの円で、中心と半径は $k$ と $c$ だけで書ける。$k = 1$ では $2$ 乗の項が消えて垂直二等分線に化けます。直径の両端が $\mathrm{AB}$ の内分点と外分点になるので、座標を置かずに作図でも出せる。積で縛るとカッシーニの卵形線という $4$ 次曲線になり、ここだけ仲間から外れます。