面積は出るのに周長は出ない？楕円と楕円積分

楕円の面積は $π ab$ で、積分すら要りません。ところが周の長さは、初等関数で書けない。

$sin$ でも $lo g$ でもでも表せない量です。楕円積分という別の関数が必要になります^[1]。

周長を式にする

$(a cos t, b sin t)$ をたどる速さは $a^{2} sin^{2} t + b^{2} cos^{2} t$ 。これを 1 周ぶん積分したものが周長。

$b^{2} = a^{2} (1 - e^{2})$ を使うと、根号の中が $e$ でまとまります。

$L = 4 a \int_{0}^{π /2} 1 - e^{2} sin^{2} u d u$

この積分を第 2 種完全楕円積分といい、 $E (e)$ と書きます。周長は $L = 4 a E (e)$ ^[1]。

$e = 0$ なら根号が $1$ になり、 $E (0) = \frac{π}{2}$ 。 $L = 2 π a$ で円周に戻る。

なぜ書けないのか

$1 - e^{2} sin^{2} u$ は、置きかえてもうまくほどけません。 $sin u = x$ と置くと $(1 - x^{2}) (1 - e^{2} x^{2})$ が出てきます。

根号の中が $4$ 次式。この形の積分は、初等関数の組み合わせでは書けないことが知られています。

$3$ 次や $4$ 次の式の平方根が入ると、積分が新しい関数を要求する。楕円積分という名前も、この楕円の周長から来ています。

面積が簡単に出るのは、円を縦につぶす変換が面積を一定の比で変えるからでした。

長さはその比で変わりません。斜めの部分ほど縮み方が違うので、円の周長から持ち帰れない。

ラマヌジャンの近似

正確な値が要るときは数値計算になりますが、手で使える近似式があります。ラマヌジャンが $1913$ 年から $1914$ 年に出したものです^[1]。

$L \approx π [3 (a + b) - (a + 3 b) (3 a + b)]$

もう 1 つ、さらに精度の高い形もあります。 $h = (\frac{a - b}{a + b})^{2}$ と置く。

$L \approx π (a + b) (1 + \frac{3 h}{10 + 4 - 3 h})$

$h$ は楕円のつぶれ具合を表す量。円なら $h = 0$ で、括弧の中が $1$ になって $2 π a$ に戻ります。

例： $a = 2$ 、 $b = 1$ で比べる

真の値は $9.68845$ 。数値積分で求めた値です。

ラマヌジャンの 1 つめに入れると $π [9 - 35] = π \times 3.08392 = 9.68843$ 。

$5$ 桁まで合いました。手で計算できる式としては十分な精度です。

素朴な $π 2 (a^{2} + b^{2})$ なら $π 10 = 9.93459$ 。 $2.6$ パーセントほど大きく出ます^[1]。

$π (a + b) = 3 π = 9.42478$ のほうは小さく出る。真の値は、この 2 つのあいだにあります。

例：地球の軌道

地球の公転軌道は楕円で、離心率は $0.0167$ 。ほとんど円です。

$e$ が小さいときの近似式は $L \approx 2 π a (1 - \frac{e ^{2}}{4})$ 。 $e^{2} = 0.000279$ なので、括弧の中は $0.99993$ になります。

円周との差は $0.007$ パーセント。半径 $1.5$ 億 km で $10$ 万 km ほどの違いです。

見た目では円と区別がつかない。それでも面積速度や季節の長さには効いてきます。

例：離心率ごとの縮み方

$\frac{L}{2 π a}$ を離心率ごとに並べます。円周を $1$ としたときの比。

離心率 $e$	$b / a$	$L / (2 π a)$
$0$	$1$	$1$
$0.5$	$0.866$	$0.934$
$0.8$	$0.6$	$0.813$
$0.95$	$0.312$	$0.702$
$1$	$0$	$0.637$

$e$ を $1$ に近づけると、楕円は線分につぶれる。長さ $2 a$ の線分を往復するので、周長は $4 a$ 。

$\frac{4 a}{2 π a} = \frac{2}{π} = 0.6366$ が下限です。どんなに細長くしても、円周の $63.7$ パーセントより短くはならない。

面積のほうは $π ab$ なので、 $b$ を $0$ にすると $0$ まで落ちます。周長には下限があり、面積にはない。

級数で書く

$E (e)$ は級数に展開できます。 $e$ が小さいところでは、はじめの数項で足ります。

$L = 2 π a [1 - \frac{1}{4} e^{2} - \frac{3}{64} e^{4} - \dots]$

第 1 項が円周、第 2 項からがつぶれによる縮み。係数が急に小さくなるので、 $e$ が $0.3$ くらいまでなら 2 項で足ります。

$e$ が $1$ に近い細長い楕円では収束が遅くなる。そういうときこそ、ラマヌジャンの式が効きます。

面積とのちがい

面積は円を縦に $\frac{b}{a}$ 倍する変換で出せました。長さのほうは、この手が通りません^[2]。

縦だけを縮めると、横向きの部分は縮まず、縦向きの部分だけが縮みます。線分の向きによって縮み方が違う。

だから円周に一定の数を掛けても、楕円の周長にはなりません。ここが面積と長さの分かれ目です。

面積

$π ab$ と書ける。円の面積に $\frac{b}{a}$ を掛けるだけ

周長

初等関数では書けない。楕円積分か近似式が要る

つまずきやすいところ

$π (a + b)$ を周長の公式だと覚えてしまう誤りが多いところ。これは近似ですらなく、必ず小さめの値になります。

$2 π ab$ という形も見かけますが、これも別の近似。 $a$ と $b$ が離れるほどずれが大きくなる。

楕円積分の $E$ は、母数の書き方が資料によって $e$ と $e^{2}$ で分かれます。数値表を引くときは、どちらで書かれているかを確かめる^[3]。

$a = b$ の楕円で、 $4 a E (e)$ はどの値になりますか。

$2 π a$
$π a$
$4 a$

__RESULT__

$a = b$ なら $e = 0$ で $E (0) = \frac{π}{2}$ です。 $4 a \times \frac{π}{2} = 2 π a$ で円周に戻ります。

近似のほうも確かめます。

$a = 3$ 、 $b = 3$ をラマヌジャンの 1 つめの式に入れるとどうなりますか。

$6 π$
$9 π$
$3 π$

__RESULT__

$π [3 \times 6 - 12 \times 12] = π [18 - 12] = 6 π$ です。半径 $3$ の円周と一致します。

面積は掛け算 1 つで出るのに、周長には新しい関数が要る。同じ楕円から出てくる 2 つの量で、これほど手ざわりが違うのは面白いところです^[4]。

参考

Ellipse. Wolfram MathWorld.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

楕円の面積は $\pi ab$ で掛け算 1 つ。周の長さのほうは初等関数で書けず、$4aE(e)$ という楕円積分になります。根号の中が $4$ 次式になるためです。手で使うならラマヌジャンの $\pi[3(a+b) - \sqrt{(a+3b)(3a+b)}]$ が $5$ 桁まで合う。$\pi(a+b)$ は必ず小さめに出ます。円をつぶす変換で面積は持ち帰れても長さは持ち帰れない理由、細長くしても円周の $63.7$ パーセントより短くならない話まで。