ささやきの回廊と反射望遠鏡、楕円と双曲線の反射の性質

楕円の壁で囲まれた部屋で、一方の焦点に立ってささやくと、声はもう一方の焦点にだけ届きます。どこで跳ね返っても、必ず反対側の焦点に集まる。

放物線がアンテナに使われる理由と同じ性質が、楕円と双曲線にもあります。もとをたどると、接線が 2 本の焦点半径とどんな角をなすか、という 1 点に行きつく。

反射は接線に対して起こる

曲がった鏡でも、光が当たった点のごく近くでは平らな鏡と変わりません。反射の法則は、その点の接線に対する入射角と反射角が等しい、という形になります。

だから調べるのは接線と 2 本の焦点半径の角度だけ。曲線全体を追いかける必要はありません。

楕円の接線は外角を二等分する

焦点を $\mathrm{F}$、${\mathrm{F}}^{\prime }$ とし、曲線上の点を $\mathrm{P}$ とします。楕円では $\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a$ が一定でした。

この式を $\mathrm{P}$ の動きについて微分すると、$\mathrm{PF}$ 方向と ${\mathrm{PF}}^{\prime }$ 方向の単位ベクトルの和が、接線と直交すると分かります^[2]。

単位ベクトルの和は、2 方向のなす角を内側から二等分する向き。それが接線と直交するので、接線のほうは外角の二等分線になります。

外角を二等分するということは、接線から測った $\mathrm{PF}$ と ${\mathrm{PF}}^{\prime }$ の角が等しいということ。入射角と反射角が等しくなり、$\mathrm{F}$ から出た光は ${\mathrm{F}}^{\prime }$ へ向かいます。

最短の道と考えても同じ結論になる

微分を使わない見方もあります。接線の上で点を動かし、$\mathrm{F}$ からの距離と ${\mathrm{F}}^{\prime }$ からの距離の和が最小になる位置を探す。

接点をのぞく接線上の点は、すべて楕円の外側にあります。外側では距離の和が $2a$ より大きいので、和が最小になるのは接点^[4]。

直線上で 2 点への距離の和が最小になる位置では、直線と 2 本の線分が等しい角をなす。ヘロンの定理と呼ばれる古い結果です。

光は最短の道を通ると考えると、反射の法則がそのまま出てきます。フェルマーの原理から見た説明になる^[1]。

例：数値で確かめる

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ をとります。$c^2=25-9=16$ なので焦点は $(\pm 4,0)$。

点 $\mathrm{P}\left(3,\frac{12}{5}\right)$ は $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ で曲線上にあります。

焦点までの距離は $\mathrm{PF}=2.6$、${\mathrm{PF}}^{\prime }=7.4$。足すと $10=2a$ で、定義どおりになりました。

接線の式は $\frac{3x}{25}+\frac{(12/5)y}{9}=1$、つまり $9x+20y=75$ です。法線の向きは $(9,20)$。

$$\frac{(1,-2.4)}{2.6}+\frac{(-7,-2.4)}{7.4}=(-0.5613,-1.2474)$$

この和を $(9,20)$ と比べると $-0.5613:9=-1.2474:20$ で、きれいに平行です。内角の二等分線が法線と重なっている。

双曲線の接線は内角を二等分する

双曲線では $|\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }|=2a$ が一定です。差を微分すると、今度は単位ベクトルの和そのものが接線の向きになります^[2]。

つまり接線が $\angle {\mathrm{FPF}}^{\prime }$ の内角を二等分する。楕円とちょうど入れかわった形です^[1]。

片方の焦点をめざして進んできた光は、双曲線の鏡で跳ね返り、もう片方の焦点へ向かいます。焦点までの道のりがどの経路でも $2a$ だけ変わる、という言い方もできる。

例：双曲線でも数値を見る

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ では $c^2=9+16=25$ なので焦点は $(\pm 5,0)$。

点 $\mathrm{P}\left(5,\frac{16}{3}\right)$ をとると、$\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ で曲線上にあります。

$\mathrm{PF}=\frac{16}{3}$、${\mathrm{PF}}^{\prime }=\frac{34}{3}$ で、差は $6=2a$。

接線は $\frac{5x}{9}-\frac{(16/3)y}{16}=1$ を整理して $5x-3y=9$、方向ベクトルは $(3,5)$ です。

$$(0,-1)+\left(-\frac{15}{17},-\frac{8}{17}\right)=\left(-\frac{15}{17},-\frac{25}{17}\right)$$

$(-15,-25)$ は $(3,5)$ の $-5$ 倍。単位ベクトルの和が接線そのものを向いています。

部屋と望遠鏡

楕円の反射が現れる場所として、ささやきの回廊がよく知られています。ロンドンのセント・ポール大聖堂や、ワシントンの旧下院議場がその形をしています^[3]。

医療にも使われます。体の外で起こした衝撃波を楕円の反射鏡で集め、もう一方の焦点に置いた結石を砕く装置がある。

望遠鏡では 3 種類が組み合わさります。主鏡は放物線で、星の光を焦点に集める^[1]。

副鏡に双曲線を使う形をカセグレン式と呼ぶ。主鏡の焦点を双曲線の焦点の 1 つに重ねると、光はもう 1 つの焦点へ折り返され、主鏡の穴を抜けて外に出ます。

副鏡を楕円にしたものはグレゴリー式と呼ばれます。どちらも、焦点をもう 1 か所へ移すために二次曲線を使っている^[1]。

3 つはつながっている

楕円の焦点の一方を、うんと遠くへ引き離すとどうなるか。もう一方の焦点へ向かう線は平行に近づき、曲線は放物線になります^[1]。

放物線が「軸に平行な光を焦点へ集める」のは、遠いほうの焦点が無限のかなたにある楕円だから。3 つの反射の性質は、別々の話ではありません。

まちがえやすい点

入射角と反射角は、法線から測っても接線から測っても同じ結論になります。ただし途中の式では、どちらで測っているかを混ぜないこと。

楕円で「接線が内角を二等分する」と覚えてしまう誤りも多い。内角を二等分するのは法線のほうで、接線は外角です。

双曲線では逆になります。2 つを並べて覚えるより、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }$ と $\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }$ のどちらが一定かに戻るほうが確実。

双曲線の側も確かめます。

$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }$ か $\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }$ か。どちらが一定かを思い出せば、接線が内角と外角のどちらを二等分するかまで戻せます。

参考