楕円と双曲線の反射の性質（接線が二等分する角とささやきの回廊）

楕円の壁で囲まれた部屋の一方の焦点に立ってささやくと、声はもう一方の焦点に集まります。どこで跳ね返っても、同じ点に届く。

放物線がアンテナに使われる理由と同じ性質が、楕円と双曲線にもあります。もとをたどると、接線が $2$ 本の焦点半径とどんな角をなすか、という $1$ 点に行きつく。

反射は接線に対して起こる

曲がった鏡でも、光が当たった点のごく近くでは平らな鏡と変わりません。反射の法則は、その点の接線に対する入射角と反射角が等しい、という形になる。

だから調べるのは接線と $2$ 本の焦点半径の角度だけです。曲線全体を追いかけずに済む。

楕円の接線は外角を二等分する

焦点を $\mathrm{F}$、${\mathrm{F}}^{\prime }$ とし、曲線上の点を $\mathrm{P}$ とします。楕円では $\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }=2a$ が一定でした。

$\mathrm{P}$ での接線を $\ell$ と書き、$\ell$ の上を動く点を $\mathrm{Q}$ とします。$\mathrm{QF}+{\mathrm{QF}}^{\prime }$ が最小になるのはどこか。

接線と楕円の共有点は接点だけです。$\ell$ の上に楕円の内部の点があれば、$\ell$ は楕円を横切って共有点が $2$ 個になってしまう。

だから $\mathrm{P}$ 以外の $\mathrm{Q}$ はすべて外側にあり、$\mathrm{QF}+{\mathrm{QF}}^{\prime }>2a$ です。和を最小にするのは接点 $\mathrm{P}$ に決まりました。

折り返して最短の道にする

最小になる位置は、折り返しで取り出せます。$\mathrm{F}$ を直線 $\ell$ について対称移動した点を ${\mathrm{F}}^{\ast }$ とする。

$\ell$ 上のどの点 $\mathrm{Q}$ でも $\mathrm{QF}={\mathrm{QF}}^{\ast }$ です。和は ${\mathrm{QF}}^{\ast }+{\mathrm{QF}}^{\prime }$ と書きかえられる。

$${\mathrm{QF}}^{\ast }+{\mathrm{QF}}^{\prime }\ge {\mathrm{F}}^{\ast }{\mathrm{F}}^{\prime }$$

三角不等式で、等号は $\mathrm{Q}$ が線分 ${\mathrm{F}}^{\ast }{\mathrm{F}}^{\prime }$ の上にあるときだけ。最小をとる $\mathrm{P}$ は、この線分の上にあります。

$\mathrm{P}$ は ${\mathrm{F}}^{\ast }$ と ${\mathrm{F}}^{\prime }$ のあいだにあるので、$\ell$ と ${\mathrm{PF}}^{\ast }$ の角は $\ell$ と ${\mathrm{PF}}^{\prime }$ の角に等しい。対頂角の関係。

折り返しから、$\ell$ と $\mathrm{PF}$ の角も $\ell$ と ${\mathrm{PF}}^{\ast }$ の角に等しくなります。$3$ つが等しいので、$\ell$ から測った $\mathrm{PF}$ と ${\mathrm{PF}}^{\prime }$ の角がそろう。

これが入射角と反射角の一致です。$\mathrm{F}$ から出た光は ${\mathrm{F}}^{\prime }$ へ向かいます。

$\mathrm{F}$ と ${\mathrm{F}}^{\prime }$ は $\ell$ の同じ側にあるため、$\ell$ は $\angle {\mathrm{FPF}}^{\prime }$ を外から二等分している^[1]。内角を二等分するのは法線のほうです。

例：数値で確かめる

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ をとります。$c^2=25-9=16$ なので焦点は $(\pm 4,0)$。

点 $\mathrm{P}\left(3,\frac{12}{5}\right)$ は $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ で曲線上にある。

焦点までの距離は $\mathrm{PF}=2.6$、${\mathrm{PF}}^{\prime }=7.4$。足すと $10=2a$ で、定義どおりになりました。

接線の式は $\frac{3x}{25}+\frac{(12/5)y}{9}=1$、つまり $9x+20y=75$ です。法線の向きは $(9,20)$。

$\mathrm{P}$ から $2$ つの焦点へ向かう単位ベクトルを足します。長さをそろえてから足すため、和は $\angle {\mathrm{FPF}}^{\prime }$ を内側から二等分する向きになる。

$$\frac{(1,-2.4)}{2.6}+\frac{(-7,-2.4)}{7.4}=(-0.5613,-1.2474)$$

$(9,20)$ と比べると $-0.5613:9=-1.2474:20$ で、ちょうど平行です。内角の二等分線が法線と重なっている。

双曲線の接線は内角を二等分する

双曲線では $|\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }|=2a$ が一定です。今度は差のほうを見る。

接線 $\ell$ 上の点 $\mathrm{Q}$ は、接点をのぞくと $2$ つの枝にはさまれた領域にある。そこでは $|\mathrm{QF}-{\mathrm{QF}}^{\prime }|<2a$ になる。

差を最大にするのが接点 $\mathrm{P}$ です。楕円で和を最小にしたのと、向きが裏返っただけ。

折り返しも同じです。$\mathrm{F}$ を $\ell$ について対称移動した ${\mathrm{F}}^{\ast }$ をとると、差は $|{\mathrm{QF}}^{\ast }-{\mathrm{QF}}^{\prime }|$ と書けます。

$$|{\mathrm{QF}}^{\ast }-{\mathrm{QF}}^{\prime }|\le {\mathrm{F}}^{\ast }{\mathrm{F}}^{\prime }$$

等号は $\mathrm{Q}$、${\mathrm{F}}^{\ast }$、${\mathrm{F}}^{\prime }$ が一直線に並ぶときだけ。ここでも $\ell$ から測った $2$ つの角がそろう。

違うのは焦点の位置です。双曲線の接線は $2$ つの焦点を隔てるので、等しい角が内側に入る^[1]。

片方の焦点をめざして進んできた光は、双曲線の鏡で跳ね返り、もう片方の焦点へ向かいます。

例：双曲線でも数値を見る

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ では $c^2=9+16=25$ なので焦点は $(\pm 5,0)$。

点 $\mathrm{P}\left(5,\frac{16}{3}\right)$ をとると、$\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1$ で曲線上にある。

$\mathrm{PF}=\frac{16}{3}$、${\mathrm{PF}}^{\prime }=\frac{34}{3}$ で、差は $6=2a$。

接線は $\frac{5x}{9}-\frac{(16/3)y}{16}=1$ を整理して $5x-3y=9$、方向ベクトルは $(3,5)$ です。

$$(0,-1)+\left(-\frac{15}{17},-\frac{8}{17}\right)=\left(-\frac{15}{17},-\frac{25}{17}\right)$$

$(-15,-25)$ は $(3,5)$ の $-5$ 倍。単位ベクトルの和が接線そのものを向いている。

ささやきの回廊

楕円の反射が現れる場所として知られるのが、ささやきの回廊です。ワシントンの旧下院議場は楕円の形をしていて、一方の焦点の声がもう一方へ届きます^[3]。

ロンドンのセント・ポール大聖堂の回廊も、同じ名で呼ばれます。ただしこちらは円形で、仕組みが違う。

円の回廊では、声が壁をかすめながら何周も回っていく。エアリーは壁での反射の重なりで説明し、レイリーは壁を伝わる波で説明した^[4]。

楕円の $2$ 焦点の話とは別の現象です。名前が同じでも、中身は別。

医療にも使われます。体の外で起こした衝撃波を楕円の反射鏡で集め、もう一方の焦点に置いた結石を砕く装置がある。

望遠鏡の副鏡

望遠鏡では $3$ 種類の曲線が組み合わさります。主鏡は放物線で、星の光を焦点に集める^[2]。

副鏡に双曲線を使う形をカセグレン式といいます。主鏡の焦点を双曲線の焦点の $1$ つに重ねると、光はもう $1$ つの焦点へ折り返され、主鏡の穴を抜けて外へ出る。

副鏡を楕円にしたものはグレゴリー式です。どちらも、焦点をもう $1$ か所へ移すために二次曲線を使っている^[2]。

3 つはつながっている

楕円の焦点の一方を、ずっと遠くへ引き離すとどうなるか。もう一方の焦点へ向かう線は平行に近づき、曲線は放物線になります。

放物線が軸に平行な光を焦点へ集めるのは、遠いほうの焦点が無限のかなたにある楕円だから。$3$ つの反射の性質は、別々の話ではありません。

まちがえやすい点

入射角と反射角は、法線から測っても接線から測っても同じ結論になる。途中の式でどちらから測っているかがまざると、答えが合わなくなる。

楕円で「接線が内角を二等分する」と覚える誤りも見かけます。内角を二等分するのは法線のほうで、接線は外角です。

$2$ つを並べて覚えるより、$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }$ と $\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }$ のどちらが一定かに戻るほうが早い。

$\mathrm{PF}+{\mathrm{PF}}^{\prime }$ か $\mathrm{PF}-{\mathrm{PF}}^{\prime }$ か。どちらが一定かを思い出せば、接線が内角と外角のどちらを二等分するかまで戻せます。

参考