4 点か 2 点か 0 点か - 円と二次曲線の共有点の個数

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ と楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ の共有点は、 $r$ の値で $0$ 個にも $2$ 個にも $4$ 個にもなります。

直線との共有点なら $2$ 個までですが、曲線どうしだと $4$ 個まで増える。数えるときは、 $2$ 乗の値が正かどうかを見ます。

連立して 2 乗にそろえる

楕円の式から $x^{2} = 9 (1 - \frac{y ^{2}}{4})$ として、円の式に代入します。

$9 - \frac{9 y ^{2}}{4} + y^{2} = r^{2}$

$y^{2}$ でまとめると $- \frac{5 y ^{2}}{4} = r^{2} - 9$ 。整理して次の形になります。

$y^{2} = \frac{4 ( 9 - r ^{2} )}{5}, x^{2} = \frac{9 ( r ^{2} - 4 )}{5}$

$x^{2}$ のほうは $x^{2} = r^{2} - y^{2}$ から出しました。どちらも $r$ だけの式です。

$0$ 以上という条件が効く

$y^{2} \geq 0$ から $r \leq 3$ 、 $x^{2} \geq 0$ から $r \geq 2$ 。両方いるので $2 \leq r \leq 3$ 。

この範囲の外では、実数の解がありません。共有点は $0$ 個です。

範囲の中では、 $x$ が $\pm$ の 2 通り、 $y$ も $\pm$ の 2 通り。組み合わせて $4$ 個になります。

端では片方が $0$ になります。 $r = 2$ なら $x = 0$ で、点は $(0, \pm 2)$ の 2 個。 $r = 3$ なら $y = 0$ で $(\pm 3, 0)$ の 2 個です。

共有点の個数が決まるのは、 $x^{2}$ と $y^{2}$ がどちらも $0$ 以上になるかを見るところです。

$2$ 乗の値が正なら符号 2 通り、 $0$ なら 1 通り、負なら解なし。掛け合わせた数が個数になります。

図で言いかえる

$r < 2$ のとき、円は楕円の内側にすっぽり入っています。触れるところがない。

$r = 2$ で短軸の端に届き、内側から接する。 $2 < r < 3$ では円が楕円の外へはみ出す部分ができ、 $4$ 点で交わります。

$r = 3$ では長軸の端に届いて、今度は外側から接する形。 $r > 3$ では円が楕円を完全に囲みます。

半径 $r$	位置関係	共有点
$r < 2$	円が楕円の内側	$0$ 個
$r = 2$	短軸の端で接する	$2$ 個
$2 < r < 3$	たがいにはみ出す	$4$ 個
$r = 3$	長軸の端で接する	$2$ 個
$r > 3$	円が楕円を囲む	$0$ 個

境目はいつも $a$ と $b$

一般の楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a > b$ ）で同じ計算をします。

$y^{2} = \frac{b ^{2} ( a ^{2} - r ^{2} )}{a ^{2} - b ^{2}}, x^{2} = \frac{a ^{2} ( r ^{2} - b ^{2} )}{a ^{2} - b ^{2}}$

$2$ 乗が $0$ 以上になる条件は $b \leq r \leq a$ 。境目は短半径と長半径そのものです。

図で考えれば当たり前のこと。円が楕円に内側から触れるのは短軸の端、外側から触れるのは長軸の端しかありません。

例： $a = 5$ 、 $b = 4$ で数える

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ と円をとります。境目は $r = 4$ と $r = 5$ 。

$r = 25$ を入れてみます。 $r^{2} = 20$ で、 $4 < 25 < 5$ の範囲の中。

$y^{2} = \frac{16 \times 5}{9} = \frac{80}{9}$ 、 $x^{2} = \frac{25 \times 4}{9} = \frac{100}{9}$ 。どちらも正なので $4$ 個です。

交点は $(\pm \frac{10}{3}, \pm \frac{4 5}{3})$ 。円に代入すると $\frac{100}{9} + \frac{80}{9} = 20$ で合っています。

円と放物線では奇数も出る

放物線 $y = x^{2}$ と、円 $x^{2} + (y - c)^{2} = r^{2}$ を考えます。 $x^{2} = y$ を代入する。

$y + (y - c)^{2} = r^{2} ⟹ y^{2} - (2 c - 1) y + c^{2} - r^{2} = 0$

$y$ の 2 次方程式になりました。ここで $y = x^{2} \geq 0$ という条件が付きます。

$y > 0$ の解 1 つにつき $x = \pm y$ で 2 点。 $y = 0$ の解なら原点の 1 点だけです。

だから共有点が奇数個になることがある。楕円や双曲線では起こらない、放物線ならではの形です。

例：3 点で交わる円

$c = 2$ 、 $r = 2$ とします。円は $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ で、原点を通る。

代入すると $y^{2} - 3 y = 0$ で $y = 0$ と $y = 3$ 。

$y = 0$ からは原点の 1 点。 $y = 3$ からは $x = \pm 3$ の 2 点。合わせて 3 点です。

$r$ を $1$ にすると $y^{2} - 3 y + 3 = 0$ で判別式が $- 3$ 。実数解がなく、共有点は $0$ 個になります。

円と双曲線には上限がない

双曲線 $\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ と円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ で同じ計算をします。

$x^{2} = 4 + \frac{4 y ^{2}}{5}$ を代入して整理すると $y^{2} = \frac{5 ( r ^{2} - 4 )}{9}$ 。

$x^{2}$ のほうは $r^{2} - y^{2} = \frac{4 r ^{2} + 20}{9}$ で、 $r$ がどんな値でも正です。条件が付くのは $y^{2}$ の側だけ。

$r < 2$ で $0$ 個、 $r = 2$ で頂点 $(\pm 2, 0)$ の $2$ 個、 $r > 2$ ならいつでも $4$ 個。双曲線は無限に伸びるので、大きな円とも必ず交わります^[2]。

楕円との組み合わせ

$r$ に上と下の境目がある。大きすぎても交わらない

双曲線との組み合わせ

下の境目だけ。 $r$ を大きくすれば必ず $4$ 点で交わる

手順のまとめ

やることは 4 つです。一方の式から $x^{2}$ か $y^{2}$ を消し、残った文字の $2$ 乗について解く。

そのあと $0$ 以上という条件を課し、最後に符号の組み合わせで点の個数を数えます。

判別式だけを見て終わりにすると、 $2$ 乗が負になる場合を拾ってしまう。範囲の確認が必ず要ります^[1]。

つまずきやすいところ

$x^{2}$ と $y^{2}$ の両方に条件を出すのを忘れると、片側だけの範囲で答えてしまいます。今回なら $r \leq 3$ だけ見て $r \geq 2$ を落とす形です。

放物線では $y = x^{2} \geq 0$ の条件を落としやすい。負の解を数えると、点の数が多く出ます。

$2$ 次方程式の解の個数と共有点の個数は別ものです。解 1 つから点が 2 つ出るので、途中で読みかえる必要があります^[3]。

$x^{2} + y^{2} = 6$ と $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ の共有点は何個ですか。

$0$ 個
$2$ 個
$4$ 個

__RESULT__

$2 < 6 < 3$ なので範囲の中です。 $y^{2} = \frac{4 \times 3}{5}$ 、 $x^{2} = \frac{9 \times 2}{5}$ でどちらも正になり、 $4$ 個です。

放物線の側も確かめます。

放物線 $y = x^{2}$ と円が共有点を $3$ 個持つのは、どんなときですか。

$y$ についての解の 1 つが $0$ になるとき
$y$ についての解が $3$ つあるとき
判別式が $0$ になるとき

__RESULT__

$y = 0$ からは原点の 1 点だけが出るので、合計が奇数になります。 $y$ の $2$ 次方程式の解は多くても $2$ つです。

$2$ 乗の値を出し、 $0$ 以上かどうかを見て、符号の組み合わせを数える。曲線どうしの共有点は、この順で数えればとりこぼしません^[4]。

参考

The Ellipse. Precalculus 2e, OpenStax.

The Hyperbola. Precalculus 2e, OpenStax.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

円 $x^2+y^2=r^2$ と楕円 $x^2/9 + y^2/4 = 1$ の共有点は、$r$ で $0$ 個にも $2$ 個にも $4$ 個にもなります。連立して $x^2$ と $y^2$ を $r$ だけの式にし、どちらも $0$ 以上になる範囲を見るだけ。境目はいつも短半径と長半径そのものです。放物線が相手なら $y = x^2 \geq 0$ が効いて $3$ 個という奇数も出る。双曲線が相手だと上限がなく、大きな円とは必ず $4$ 点で交わります。