条件から軌跡を求めると二次曲線が現れる高校数学の問題

条件を満たす点の集まりを求めると、二次曲線が現れることがあります。円や直線しか出てこない問題との違いは、条件に距離の和や差、比が入っているところです。

手順は 3 段

$2$ 段目が要です。「距離が等しい」「和が一定」といった日本語を、そのまま座標の式に写します。

2 定点からの距離の和

$\mathrm{A}(3,0)$, $\mathrm{B}(-3,0)$ からの距離の和が $10$ である点の軌跡を求めます。

条件をそのまま書きます。

$$\sqrt{(x-3{)}^2+y^2}+\sqrt{(x+3{)}^2+y^2}=10$$

楕円の定義そのものなので、$2a=10$ から $a=5$、$c=3$、$b^2=25-9=16$。

$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$$

定義を知っていれば、根号の計算に入らずに答えが出ます。$2$ 定点が $x$ 軸上で原点について対称、という形を見た時点で楕円を疑います。

同じ $2$ 定点でも、和を一定にすれば閉じた楕円、差を一定にすれば開いた双曲線になります。条件の $1$ 文字で結果が変わります。

距離の差

$\mathrm{A}(4,0)$, $\mathrm{B}(-4,0)$ からの距離の差の絶対値が $4$ である点の軌跡です。

$2a=4$ から $a=2$、$c=4$、$b^2=c^2-a^2=16-4=12$。

$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$$

差の場合は $c>a$ が必要です。$2a$ が $2c$ を超えると、そんな点は存在しません。三角形の $2$ 辺の差が残りの辺を超えられないためです。

定点と定直線からの距離

点 $\mathrm{F}(2,0)$ と直線 $x=-2$ から等距離にある点を求めます。

$$\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=|x+2|$$

$2$ 乗して展開します。$x^2-4x+4+y^2=x^2+4x+4$。$x^2$ と $4$ が消えて

$$y^2=8x$$

放物線でした。$4p=8$ で $p=2$、焦点 $(2,0)$、準線 $x=-2$ と条件どおりです。

距離の比

点 $\mathrm{F}(1,0)$ と直線 $x=4$ からの距離の比が $1:2$ である点を求めます。離心率が $\frac{1}{2}$ なので楕円のはずです。

$$2\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x-4|$$

$2$ 乗します。$4\{(x-1{)}^2+y^2\}=(x-4{)}^2$。

$$4x^2-8x+4+4y^2=x^2-8x+16$$

$-8x$ が両辺で消え、$3x^2+4y^2=12$。$12$ で割って

$$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$$

$a=2$, $b=\sqrt{3}$、$c=1$ で焦点は $(\pm 1,0)$。条件の $\mathrm{F}$ が焦点になっています。

比を $2:1$ に逆にすると $e=2$ で双曲線が出ます。同じ形の計算です。

動く円の中心

半径 $1$ の円 ${\mathrm{C}}_1$ が原点中心、半径 $4$ の円 ${\mathrm{C}}_2$ も原点中心とします。${\mathrm{C}}_1$ に外接し ${\mathrm{C}}_2$ に内接する円の中心の軌跡を求めます。

動く円の中心を $\mathrm{P}$、半径を $r$ とします。外接だから中心間距離が半径の和、内接だから半径の差です。

$$\mathrm{OP}=1+r,\mathrm{OP}=4-r$$

足すと $2\mathrm{OP}=5$、つまり $\mathrm{OP}=\frac{5}{2}$。中心は原点から一定距離なので円です。

$2$ つの定円の中心が離れている場合は、和や差が一定という形になり、楕円や双曲線が出ます。$r$ を消す、という一手が共通しています。

$2$ つの定円に外接しながら大きさを変える円は、中心が破線の楕円をなぞります。$2$ 定点からの距離の和が、半径のぶんだけずれて一定になるためです。

軌跡を求めたあとの確認

条件を式に写して整理したら、$2$ つを確かめます。

$1$ つは範囲です。$2$ 乗する操作で符号の情報が落ちるので、もとの条件を満たさない点が混じることがあります。放物線の例で $\sqrt{\cdots }=|x+2|$ を $2$ 乗しましたが、左辺が $0$ 以上なので右辺も $0$ 以上、という条件は絶対値が保証しています。

もう $1$ つは逆の確認です。「求めた曲線上の点が、たしかに条件を満たす」ことを $1$ 行書きます。同値変形で進んだのなら「以上の変形は同値である」でも足ります。

媒介変数で置く道

条件が複雑なときは、動く点を最初から媒介変数で置くと式が軽くなります。

円 $x^2+y^2=4$ 上の点 $\mathrm{Q}$ と定点 $\mathrm{A}(6,0)$ を結ぶ線分の中点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めます。

$\mathrm{Q}(2\cos \theta ,2\sin \theta )$ と置きます。中点は

$$x=\frac{2\cos \theta +6}{2}=\cos \theta +3,y=\sin \theta$$

$\cos \theta =x-3$, $\sin \theta =y$ を ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ に入れて

$$(x-3{)}^2+y^2=1$$

中心 $(3,0)$、半径 $1$ の円。$\mathrm{Q}$ を $(x_1,y_1)$ と置いて条件式を連立するより短く済みます。