未知数はいくつ？条件から二次曲線の方程式を決める

焦点が $(\pm 3, 0)$ で長軸の長さが $10$ の楕円は、1 つしかありません。 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ です。

決まる理由は数の勘定にある。標準形の楕円を決める数は 2 つ、与えられた条件も 2 つ。数がそろえば曲線は 1 本に絞られる。

未知数の個数を先に数える

標準形に持ちこんだとき、決めるべき数がいくつ残るかを数えます。ここが出発点になります。

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら $a$ と $b$ の 2 つ。双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ も 2 つ。放物線 $y^{2} = 4 p x$ は $p$ だけの 1 つです。

条件 1 つにつき等式が 1 本立ちます。だから楕円と双曲線には条件が 2 つ、放物線には 1 つ要る。

曲線	標準形	決めるべき数
放物線	$y^{2} = 4 p x$	$p$ の 1 つ
楕円	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$	$a$ 、 $b$ の 2 つ
双曲線	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$	$a$ 、 $b$ の 2 つ

中心が原点になければ $h$ と $k$ が増えて 4 つ。軸が座標軸から傾いていれば、さらに回転角が加わります。

焦点の位置が決めるのは $c$ だけ。長さの条件がもう 1 つ来て、はじめて曲線が止まります。

楕円は長さの関係が橋渡しになる

楕円では $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ が成り立ちます。短軸の端から 2 つの焦点までの距離がどちらも $a$ になり、三平方の定理を当てるとこの形が出ます^[2]。

条件が焦点で与えられても長さで与えられても、この式を通せば互いに行き来できる。決定の問題はほとんどこれで片づきます^[3]。

例：焦点と長軸の長さから

焦点が $(\pm 3, 0)$ 、長軸の長さが $10$ とします。長軸は $2 a$ なので $a = 5$ 。

焦点の $x$ 座標が $c$ にあたるので $c = 3$ 。 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16$ です。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

焦点が $x$ 軸の上にあるので、大きいほうの分母が $x^{2}$ の下に来ます。ここをとり違えると縦長の楕円になってしまう。

例：2 点を通る楕円

中心が原点、軸が座標軸にあり、点 $(2, 3)$ と $(- 1, 4)$ を通る楕円を求めます。焦点は与えられていない。

こういうときは $\frac{x ^{2}}{A} + \frac{y ^{2}}{B} = 1$ と置き、 $A$ と $B$ を未知数にします。 $a$ と $b$ のまま扱うより連立が軽くなる。

$\frac{4}{A} + \frac{9}{B} \frac{1}{A} + \frac{16}{B} = 1 = 1$

$\frac{1}{A} = u$ 、 $\frac{1}{B} = v$ と置けば $4 u + 9 v = 1$ 、 $u + 16 v = 1$ 。解くと $u = \frac{7}{55}$ 、 $v = \frac{3}{55}$ です。

$\frac{7 x ^{2}}{55} + \frac{3 y ^{2}}{55} = 1 つまり 7 x^{2} + 3 y^{2} = 55$

$A = \frac{55}{7} \approx 7.86$ 、 $B = \frac{55}{3} \approx 18.3$ なので、大きいのは $B$ のほう。長軸は $y$ 軸の向きです。

$A$ と $B$ を未知数に置くと、連立が 1 次方程式になるので手が止まりません。

$a^{2}$ や $b^{2}$ をそのまま文字にしただけですが、逆数で置きかえるとさらに軽くなる。

例：離心率と準線から

離心率 $e = \frac{1}{2}$ 、準線が $x = 8$ の楕円を求めます。中心は原点とする。

準線は中心から $\frac{a}{e}$ の位置にあり、焦点は $c = a e$ の位置^[1]。前者から $\frac{a}{1/2} = 8$ で $a = 4$ 。

$c = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ なので $b^{2} = 16 - 4 = 12$ になります。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{12} = 1$

離心率は $c$ と $a$ の比です。比の条件が 1 つ、位置の条件が 1 つで、やはり 2 つそろっている。

双曲線は漸近線が強い条件になる

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ です^[4]。漸近線が与えられると、 $a$ と $b$ の比が先に決まります。

比が決まっているなら、 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = k$ と定数を右に置いた形で扱うと速い。 $k$ を 1 つ決めれば曲線が定まります。

$k > 0$ なら左右に開き、 $k < 0$ なら上下に開く。同じ漸近線を持つ双曲線が 2 種類ある、ということです。

canvas: 絵を作れませんでした

例：漸近線と通る点から

漸近線が $y = \pm 2 x$ で、点 $(2, 2)$ を通る双曲線を求めます。

$\frac{b}{a} = 2$ なので $b = 2 a$ 。 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{4 a ^{2}} = k$ の分母を払うと $4 x^{2} - y^{2} = m$ の形になります。

$(2, 2)$ を代入すると $16 - 4 = 12$ 。 $4 x^{2} - y^{2} = 12$ です。

$\frac{x ^{2}}{3} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$

通る点を $(1, 4)$ に替えると $4 - 16 = - 12$ となり、 $4 x^{2} - y^{2} = - 12$ 。こちらは上下に開く双曲線になります。

漸近線だけでは向きが決まりません。通る点がどちら側にあるかで、右辺の符号が入れかわる。

例：焦点と頂点から

焦点が $(\pm 5, 0)$ 、頂点が $(\pm 3, 0)$ の双曲線を求めます。頂点までの距離が $a$ 、焦点までが $c$ です。

双曲線では $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ と、足し算になります^[4]。楕円と符号が違う点だけ気をつける。

$b^{2} = 25 - 9 = 16$ なので $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 。漸近線は $y = \pm \frac{4}{3} x$ です。

放物線は条件が 1 つで足りる

$y^{2} = 4 p x$ の焦点は $(p, 0)$ 、準線は $x = - p$ 。決めるべき数が $p$ しかないので、条件は 1 つで十分です^[1]。

焦点が $(2, 0)$ なら $p = 2$ で $y^{2} = 8 x$ 。準線が $x = - 2$ でも同じ式になります。

軸が $y$ 軸なら $x^{2} = 4 p y$ の形。準線が $y = 3$ なら $p = - 3$ で $x^{2} = - 12 y$ となり、下に開きます。

例：通る点から放物線を決める

頂点が原点、軸が $x$ 軸で、点 $(2, 4)$ を通る放物線を求めます。

$y^{2} = 4 p x$ に代入すると $16 = 8 p$ で $p = 2$ 。 $y^{2} = 8 x$ です。

軸が $y$ 軸だとしたら $x^{2} = 4 p y$ に代入して $4 = 16 p$ 、 $p = \frac{1}{4}$ で $x^{2} = y$ 。軸の向きを決めないと答えが 1 つになりません。

中心がずれている場合

中心が $(h, k)$ に移ると、未知数が 4 つに増えます。そのぶん条件も 4 つ要る。

焦点が $(1, 2)$ と $(7, 2)$ 、長軸の長さが $10$ の楕円を考えます。焦点の中点が中心なので $(4, 2)$ 。

焦点どうしの距離が $6$ なので $c = 3$ 、 $a = 5$ 、 $b^{2} = 16$ です。

$\frac{( x - 4 ) ^{2}}{25} + \frac{( y - 2 ) ^{2}}{16} = 1$

焦点の $y$ 座標がそろっているので、長軸は横向き。座標の並びを見れば向きが読めます。

出した式を条件に戻して確かめる

決めた式から、与えられた条件をもう一度計算し直します。焦点なら $c$ を出し、通る点なら代入する。

$7 x^{2} + 3 y^{2} = 55$ に $(2, 3)$ を入れると $28 + 27 = 55$ 。 $(- 1, 4)$ なら $7 + 48 = 55$ で、どちらも合います。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ なら $c^{2} = 9 + 16 = 25$ で焦点は $(\pm 5, 0)$ 。与えられた条件に戻りました。

焦点が $(\pm 4, 0)$ で、短軸の長さが $6$ の楕円はどれですか。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$
$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$
$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$

__RESULT__

短軸が $2 b = 6$ なので $b = 3$ 。 $c = 4$ から $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 9 + 16 = 25$ です。 $\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ は $a^{2}$ に $c^{2}$ を置いてしまった形になります。

漸近線が与えられたときの置き方も確かめます。

漸近線が $y = \pm 3 x$ で、点 $(1, 0)$ を通る双曲線はどれですか。

$x^{2} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$
$\frac{x ^{2}}{9} - y^{2} = 1$
$\frac{y ^{2}}{9} - x^{2} = 1$

__RESULT__

$9 x^{2} - y^{2} = m$ と置いて $(1, 0)$ を代入すると $m = 9$ 。両辺を $9$ で割ると $x^{2} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ です。 $\frac{b}{a} = 3$ なので、 $a^{2} = 1$ に対して $b^{2} = 9$ になります。

未知数がいくつあるかを先に数え、条件をその数だけ集める。決定の問題は、この順で組み立てると迷いません。

参考文献

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

The Ellipse. Precalculus 2e, OpenStax.

The Hyperbola. Precalculus 2e, OpenStax.

焦点が $(\pm 3, 0)$ で長軸が $10$ なら、楕円は 1 つに決まります。決めるべき数が楕円と双曲線で 2 つ、放物線で 1 つ。条件もその数だけそろえばいい。楕円は $a^2 = b^2 + c^2$ が焦点と長さを橋渡しし、双曲線は漸近線が $a$ と $b$ の比を先に決めます。同じ漸近線でも右辺の符号で開く向きが変わること、2 点を通る楕円を $x^2/A + y^2/B = 1$ と置いて 1 次の連立に落とす手、中心がずれた場合の数え直しまで扱いました。