焦点を結んでできる三角形の面積、角度だけで決まる

楕円 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ の上に点 $\mathrm{P}$ をとり、2 つの焦点と結んで三角形を作ります。

$\angle {\mathrm{F}}_1{\mathrm{PF}}_2=90^{\circ }$ なら、面積は $16$。$60^{\circ }$ なら $\frac{16}{\sqrt{3}}$ です。角度だけで決まり、$\mathrm{P}$ の座標は要らない。

分かっているのは和と底辺

焦点までの距離を $r_1$、$r_2$ とすると、$r_1+r_2=2a$ は分かります。${\mathrm{F}}_1{\mathrm{F}}_2=2c$ も分かる。

いっぽう $r_1$ と $r_2$ を個別に知るには、$\mathrm{P}$ の座標が要ります。ところが面積の式に必要なのは積だけ。

$$S=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin \theta$$

和が分かっていて積が知りたい。この形なら余弦定理が使えます。

余弦定理で積を出す

${\mathrm{F}}_1{\mathrm{F}}_2$ を第 3 辺として余弦定理を書きます^[1]。

$$4c^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta$$

$r_1^2+r_2^2=(r_1+r_2{)}^2-2r_1{r}_2=4a^2-2r_1{r}_2$ を代入して整理する。

$$4c^2=4a^2-2r_1{r}_2(1+\cos \theta )$$

$a^2-c^2=b^2$ なので $r_1{r}_2=\frac{2b^2}{1+\cos \theta }$。積が角度だけで書けました。

半角に直す

面積の式に戻します。$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{2b^2}{1+\cos \theta }\cdot \sin \theta$。

$\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\tan \frac{\theta }{2}$ という半角の関係を使うと、形がそろいます。

$$S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$$

$a$ も $c$ も消えました。残ったのは短半軸の $b$ と、見込む角の半分だけ。

例：$a=5$、$b=4$ で計算する

$c^2=25-16=9$ なので焦点は $(\pm 3,0)$。$b^2=16$ です。

$\theta =90^{\circ }$ なら $\tan 45^{\circ }=1$ で $S=16$。積のほうも $r_1{r}_2=\frac{2\times 16}{1}=32$ で、$\frac{1}{2}\times 32=16$ と合います。

$\theta =60^{\circ }$ なら $\tan 30^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}$ で $S=\frac{16}{\sqrt{3}}\approx 9.24$。

$\theta =120^{\circ }$ では $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ で $S=16\sqrt{3}\approx 27.7$。角が開くほど面積が増えます。

面積が最大になる位置

底辺 ${\mathrm{F}}_1{\mathrm{F}}_2=2c$ は動かない。高さは $\mathrm{P}$ の $y$ 座標の絶対値なので、$S=c|y|$ とも書けます。

$|y|$ の最大は $b$。つまり $\mathrm{P}$ が短軸の端に来たときが最大で、面積は $bc$ です。

$\tan \frac{\theta }{2}$ は $\theta$ について増加するので、面積が最大なら角も最大。2 つの言い方が同じ点を指しています。

短軸の端では $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{c}{b}$。$b^2\times \frac{c}{b}=bc$ で、たしかに一致しました。

内接円の半径

三角形の面積は、内接円の半径 $r$ と周の半分 $s$ を使って $S=rs$ とも書けます。

周は $r_1+r_2+2c=2a+2c$ なので $s=a+c$。半径は次の形になります。

$$r=\frac{b^2\tan (\theta /2)}{a+c}$$

$a=5$、$b=4$、$c=3$ で $\theta =90^{\circ }$ なら $r=\frac{16}{8}=2$。短軸の端では $S=12$、$s=8$ で $r=1.5$ になります。

周の長さが $\mathrm{P}$ によらず $2a+2c$ で一定。ここが効きどころです。

双曲線でも同じ手が通る

双曲線では $|r_1-r_2|=2a$ が一定です^[2]。余弦定理の使い方は変わりません。

$$4c^2=(r_1-r_2{)}^2+2r_1{r}_2-2r_1{r}_2\cos \theta$$

$c^2-a^2=b^2$ を使うと $r_1{r}_2=\frac{2b^2}{1-\cos \theta }$。分母の符号だけが入れかわりました。

$$S=b^2\cdot \frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=\frac{b^2}{\tan (\theta /2)}$$

楕円が $\tan$ で、双曲線は $\tan$ の逆数。角が小さいほど面積が大きくなり、増減が逆になります。

例：双曲線で計算する

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ をとります。$a=3$、$b=4$、$c^2=9+16=25$ で $c=5$。

$\theta =90^{\circ }$ なら $\frac{16}{\tan 45^{\circ }}=16$。楕円のときと同じ値になりました。

$\tan 45^{\circ }=1$ なので、逆数をとっても変わらないため。$\theta =90^{\circ }$ は 2 つの式が出会う角度です。

$\theta =60^{\circ }$ では $\frac{16}{\tan 30^{\circ }}=16\sqrt{3}$。楕円では $\frac{16}{\sqrt{3}}$ だったので、$3$ 倍の開きがあります。

つまずきやすいところ

$\theta$ は $\mathrm{P}$ での角であって、焦点での角ではない。どの頂点の角かをまちがえると、余弦定理の形も変わります。

楕円で $r_1{r}_2$ を出すとき、$(r_1+r_2{)}^2$ の展開を忘れて $r_1^2+r_2^2=4a^2$ としてしまう誤りも多い。$-2r_1{r}_2$ が抜けます。

双曲線では $r_1+r_2$ が一定ではありません。一定なのは差のほうで、和は $\mathrm{P}$ ごとに変わります^[4]。

双曲線の側も確かめます。

和か差のどちらが一定かを押さえ、余弦定理で積に持ちこむ。座標を置かずに答えが出る、という形の問題です^[3]。

参考文献