焦点を結んでできる三角形の面積、角度だけで決まる

楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の上に点 $P$ をとり、2 つの焦点と結んで三角形を作ります。

$∠ F_{1} PF_{2} = 9 0^{\circ}$ なら、面積は $16$ 。 $6 0^{\circ}$ なら $\frac{16}{3}$ です。角度だけで決まり、 $P$ の座標は要らない。

分かっているのは和と底辺

焦点までの距離を $r_{1}$ 、 $r_{2}$ とすると、 $r_{1} + r_{2} = 2 a$ は分かります。 $F_{1} F_{2} = 2 c$ も分かる。

いっぽう $r_{1}$ と $r_{2}$ を個別に知るには、 $P$ の座標が要ります。ところが面積の式に必要なのは積だけ。

$S = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} sin θ$

和が分かっていて積が知りたい。この形なら余弦定理が使えます。

余弦定理で積を出す

$F_{1} F_{2}$ を第 3 辺として余弦定理を書きます^[1]。

$4 c^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos θ$

$r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = (r_{1} + r_{2})^{2} - 2 r_{1} r_{2} = 4 a^{2} - 2 r_{1} r_{2}$ を代入して整理する。

$4 c^{2} = 4 a^{2} - 2 r_{1} r_{2} (1 + cos θ)$

$a^{2} - c^{2} = b^{2}$ なので $r_{1} r_{2} = \frac{2 b ^{2}}{1 + cos θ}$ 。積が角度だけで書けました。

半角に直す

面積の式に戻します。 $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 b ^{2}}{1 + cos θ} \cdot sin θ$ 。

$\frac{sin θ}{1 + cos θ} = tan \frac{θ}{2}$ という半角の関係を使うと、形がそろいます。

$S = b^{2} tan \frac{θ}{2}$

$a$ も $c$ も消えました。残ったのは短半軸の $b$ と、見込む角の半分だけ。

$a$ と $c$ が消えるのは、 $a^{2} - c^{2}$ がまとめて $b^{2}$ になるからです。

楕円の形を決める 3 つの量のうち、面積に効くのは $b$ だけ。長軸の長さは関係しません。

例： $a = 5$ 、 $b = 4$ で計算する

$c^{2} = 25 - 16 = 9$ なので焦点は $(\pm 3, 0)$ 。 $b^{2} = 16$ です。

$θ = 9 0^{\circ}$ なら $tan 4 5^{\circ} = 1$ で $S = 16$ 。積のほうも $r_{1} r_{2} = \frac{2 \times 16}{1} = 32$ で、 $\frac{1}{2} \times 32 = 16$ と合います。

$θ = 6 0^{\circ}$ なら $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ で $S = \frac{16}{3} \approx 9.24$ 。

$θ = 12 0^{\circ}$ では $tan 6 0^{\circ} = 3$ で $S = 163 \approx 27.7$ 。角が開くほど面積が増えます。

面積が最大になる位置

底辺 $F_{1} F_{2} = 2 c$ は動かない。高さは $P$ の $y$ 座標の絶対値なので、 $S = c ∣ y ∣$ とも書けます。

$∣ y ∣$ の最大は $b$ 。つまり $P$ が短軸の端に来たときが最大で、面積は $b c$ です。

$tan \frac{θ}{2}$ は $θ$ について増加するので、面積が最大なら角も最大。2 つの言い方が同じ点を指しています。

短軸の端では $tan \frac{θ}{2} = \frac{c}{b}$ 。 $b^{2} \times \frac{c}{b} = b c$ で、たしかに一致しました。

内接円の半径

三角形の面積は、内接円の半径 $r$ と周の半分 $s$ を使って $S = r s$ とも書けます。

周は $r_{1} + r_{2} + 2 c = 2 a + 2 c$ なので $s = a + c$ 。半径は次の形になります。

$r = \frac{b ^{2} tan ( θ /2 )}{a + c}$

$a = 5$ 、 $b = 4$ 、 $c = 3$ で $θ = 9 0^{\circ}$ なら $r = \frac{16}{8} = 2$ 。短軸の端では $S = 12$ 、 $s = 8$ で $r = 1.5$ になります。

周の長さが $P$ によらず $2 a + 2 c$ で一定。ここが効きどころです。

双曲線でも同じ手が通る

双曲線では $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a$ が一定です^[2]。余弦定理の使い方は変わりません。

$4 c^{2} = (r_{1} - r_{2})^{2} + 2 r_{1} r_{2} - 2 r_{1} r_{2} cos θ$

$c^{2} - a^{2} = b^{2}$ を使うと $r_{1} r_{2} = \frac{2 b ^{2}}{1 - cos θ}$ 。分母の符号だけが入れかわりました。

$S = b^{2} \cdot \frac{sin θ}{1 - cos θ} = \frac{b ^{2}}{tan ( θ /2 )}$

楕円が $tan$ で、双曲線は $tan$ の逆数。角が小さいほど面積が大きくなり、増減が逆になります。

楕円

面積は $b^{2} tan \frac{θ}{2}$ 。角が開くほど大きい

双曲線

面積は $\frac{b ^{2}}{tan ( θ /2 )}$ 。角が閉じるほど大きい

例：双曲線で計算する

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ をとります。 $a = 3$ 、 $b = 4$ 、 $c^{2} = 9 + 16 = 25$ で $c = 5$ 。

$θ = 9 0^{\circ}$ なら $\frac{16}{tan 4 5 ^{\circ}} = 16$ 。楕円のときと同じ値になりました。

$tan 4 5^{\circ} = 1$ なので、逆数をとっても変わらないため。 $θ = 9 0^{\circ}$ は 2 つの式が出会う角度です。

$θ = 6 0^{\circ}$ では $\frac{16}{tan 3 0 ^{\circ}} = 163$ 。楕円では $\frac{16}{3}$ だったので、 $3$ 倍の開きがあります。

つまずきやすいところ

$θ$ は $P$ での角であって、焦点での角ではない。どの頂点の角かをまちがえると、余弦定理の形も変わります。

楕円で $r_{1} r_{2}$ を出すとき、 $(r_{1} + r_{2})^{2}$ の展開を忘れて $r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = 4 a^{2}$ としてしまう誤りも多い。 $- 2 r_{1} r_{2}$ が抜けます。

双曲線では $r_{1} + r_{2}$ が一定ではありません。一定なのは差のほうで、和は $P$ ごとに変わります^[4]。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の上の点と 2 焦点が作る三角形で、見込む角が $6 0^{\circ}$ のときの面積はどれですか。

$33$
$93$
$\frac{16}{3}$

__RESULT__

$b^{2} = 9$ なので $9 tan 3 0^{\circ} = \frac{9}{3} = 33$ です。 $b$ ではなく $a$ を使うと $\frac{16}{3}$ になってしまいます。

双曲線の側も確かめます。

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ の焦点三角形で、見込む角が $9 0^{\circ}$ のときの面積はどれですか。

__RESULT__

$b^{2} = 5$ 、 $tan 4 5^{\circ} = 1$ なので $\frac{5}{1} = 5$ です。 $4$ は $a^{2}$ 、 $9$ は $c^{2}$ にあたります。

和か差のどちらが一定かを押さえ、余弦定理で積に持ちこむ。座標を置かずに答えが出る、という形の問題です^[3]。

参考文献

Ellipse. Wolfram MathWorld.

Hyperbola. Wolfram MathWorld.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

楕円上の点から 2 焦点を見込む角が $\theta$ なら、三角形の面積は $b^2\tan(\theta/2)$。長軸の長さも点の座標も出てきません。$r_1 + r_2 = 2a$ と余弦定理を組み合わせると、$r_1r_2$ が角度だけで書けるためです。双曲線では差が一定なので分母の符号が入れかわり、$b^2/\tan(\theta/2)$ になる。面積が最大になるのは短軸の端で値は $bc$、内接円の半径が $b^2\tan(\theta/2)/(a+c)$ になる話まで。