極方程式の基本｜円と直線を r と θ だけで書く高校数学

平面上の点を、原点からの距離と角度の $2$ つで表す方法があります。

$P (r, θ)$

$r$ が原点 $O$ からの距離、 $θ$ が始線からの回転角。この $O$ を極、始線を始線と呼び、この表し方を極座標といいます。

同心円が $r$ の目盛り、放射状の線が $θ$ の目盛りです。直交座標の方眼が縦横の格子なのに対して、こちらは円と放射線の格子になります。

直交座標との行き来

$2$ つの表し方は、三角比でつながります。

$x = r cos θ, y = r sin θ$

逆向きは $r = x^{2} + y^{2}$ 、 $tan θ = \frac{y}{x}$ 。ただし $θ$ は $tan$ だけでは決まらないので、点がどの象限にあるかを見て選びます。

極座標 $(2, \frac{π}{3})$ を直交座標に直します。 $x = 2 cos \frac{π}{3} = 1$ 、 $y = 2 sin \frac{π}{3} = 3$ で $(1, 3)$ です。

直交座標 $(- 1, 1)$ を極座標に直すなら $r = 2$ 。第 $2$ 象限なので $θ = \frac{3 π}{4}$ 、極座標は $(2, \frac{3 π}{4})$ になります。

極方程式

$r$ と $θ$ の関係式で曲線を表したものを極方程式といいます。直交座標の $y = f (x)$ にあたるものです。

いちばん簡単なのが原点中心の円。中心が極にあるので、距離が一定という条件だけで済みます。

$r = a$

$θ$ が式に現れません。どの向きでも距離が $a$ 、という意味です。

原点を通る直線

極を通り、始線と $α$ の角をなす直線は、角度だけで決まります。

$θ = α$

こちらは $r$ が現れない。 $r$ が何であってもよい、つまりその向きに伸びる直線全体を表します。

$θ = \frac{π}{4}$ なら直交座標で $y = x$ です。

極を通る円

中心が始線上の $(a, 0)$ 、半径 $a$ の円は極を通ります。この場合の極方程式が $r = 2 a cos θ$ です。

導き方は直交座標から。 $(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}$ を展開すると $x^{2} + y^{2} = 2 a x$ 。ここに $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ と $x = r cos θ$ を入れます。

$r^{2} = 2 a r cos θ ⟹ r = 2 a cos θ$

$r$ で割りました。 $r = 0$ は極そのもので、 $θ = \frac{π}{2}$ のときに $r = 0$ となるので、割っても点が失われません。

中心が $(0, a)$ で極を通る円なら $r = 2 a sin θ$ になります。

直線の極方程式

始線に垂直な直線 $x = a$ は、 $x = r cos θ$ を入れるだけです。

$r cos θ = a$

一般の直線は、極から直線に下ろした垂線の足で考えます。垂線の長さを $d$ 、垂線の向きを $α$ とすると

$r cos (θ - α) = d$

$α = 0$ なら $r cos θ = d$ で、さきほどの形に戻ります。

$x + y = 2$ を極方程式にしてみます。 $r cos θ + r sin θ = 2$ から $r (cos θ + sin θ) = 2$ 。合成して

$2 r cos (θ - \frac{π}{4}) = 2$

つまり $r cos (θ - \frac{π}{4}) = 2$ 。垂線の長さ $2$ 、向き $\frac{π}{4}$ と読めます。

直交座標へ戻す手

極方程式を見せられて「どんな曲線か」と問われたら、直交座標に直します。使う置きかえは $3$ つです。

$r cos θ$	$x$ に直す
$r sin θ$	$y$ に直す
$r^{2}$	$x^{2} + y^{2}$ に直す

$r$ が $1$ 次で残っているときは、両辺に $r$ を掛けて $r^{2}$ を作ります。 $r = 2 cos θ$ なら $r^{2} = 2 r cos θ$ として $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 。整理して $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ です。

例をいくつか

$r = 4 sin θ$ を直します。両辺に $r$ を掛けて $r^{2} = 4 r sin θ$ 、つまり $x^{2} + y^{2} = 4 y$ 。

平方完成して $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ 。中心 $(0, 2)$ 、半径 $2$ の円です。

$r sin θ = 3$ なら $y = 3$ 。始線に平行な直線でした。

$r = \frac{2}{cos θ}$ は $r cos θ = 2$ なので $x = 2$ 。始線に垂直な直線です。

負の r をどう扱うか

$r = 2 a cos θ$ で $θ$ が $\frac{π}{2}$ を超えると $cos θ$ が負になり、 $r$ も負になります。

高校では $r \geq 0$ とする流儀と、負の $r$ を「反対向きに $∣ r ∣$ 進む」と読む流儀があります。後者なら $θ$ を $0$ から $π$ まで動かして円を $1$ 周描けます。

前者なら $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ に範囲を切ります。どちらの約束で答えるか、問題文の指示に合わせます。

同じ点が何通りにも書ける

極座標には、直交座標にない性質があります。 $(2, \frac{π}{3})$ と $(2, \frac{π}{3} + 2 π)$ は同じ点です。

$θ$ に $2 π$ の整数倍を足しても同じ位置。極 $O$ にいたっては $r = 0$ でありさえすれば $θ$ が何でもよく、無数の書き方があります。

$1$ 対 $1$ の対応ではない、という点が直交座標との大きな違いです。曲線が閉じているかどうかを判断するときに効いてきます。

点を原点からの距離と角度で表すのが極座標です。x = r cosθ、y = r sinθ で直交座標と行き来できます。極を中心とする円は r = a、極を通る円は r = 2a cosθ、始線に垂直な直線は r cosθ = a。r cosθ を x に、r² を x² + y² に置きかえて直交座標へ戻す手順と、負の r のあつかいまで例で並べました。