双曲線の定義 - 焦点からの距離の差が一定である点の集まり

$2$ つの定点からの距離の差が一定になる点を集めると、双曲線になります。

$∣ PF - P F^{'} ∣ = 2 a$

$2$ 点 $F$ , $F^{'}$ が焦点。絶対値が付いているのは、どちらが近いかで差の符号が変わるためです。この符号の違いが、 $2$ 本の枝に対応します。

点が右の枝にいるあいだは左の焦点のほうが遠く、左の枝へ移ると逆になります。それでも $2$ 本のバーの差は変わりません。差の値が $2 a$ です。

楕円との対比

同じ $2$ 定点でも、和をとるか差をとるかで別の曲線になります。

楕円

$PF + P F^{'} = 2 a$ 。 $2$ 焦点を結ぶ線分より長い糸で結ぶので、点は $2$ 焦点を囲む閉じた曲線を描く。 $a > c$ 。

双曲線

$∣ PF - P F^{'} ∣ = 2 a$ 。差なので点は焦点から遠ざかることができ、曲線は $2$ 本に分かれて開く。 $a < c$ 。

$a$ と $c$ の大小が逆になっている点が要です。楕円では $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ 、双曲線では $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ となるのは、この違いから来ています。

差が存在する条件

$2$ 定点の距離を $2 c$ とすると、差 $2 a$ は $2 c$ より小さくなければなりません。

$0 < 2 a < 2 c ⟹ 0 < a < c$

三角形の $2$ 辺の差は残りの $1$ 辺より小さい、という事実がそのまま効いています。 $2 a = 2 c$ なら軌跡は $2$ 焦点の外側の半直線になり、 $2 a > 2 c$ なら点が存在しません。

楕円では逆に $2 a > 2 c$ が必要でした。 $2 a = 2 c$ で線分に潰れ、それより小さいと点がなくなります。

定義から方程式を導く

焦点を $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ とし、差を $2 a$ とします。

$(x + c)^{2} + y^{2} - (x - c)^{2} + y^{2} = \pm 2 a$

片方を移項して $2$ 乗します。

$(x + c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} \pm 4 a (x - c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2}$

展開して整理すると $4 c x = 4 a^{2} \pm 4 a (x - c)^{2} + y^{2}$ 、つまり $\pm a (x - c)^{2} + y^{2} = c x - a^{2}$ です。

もう一度 $2$ 乗します。

$a^{2} {(x - c)^{2} + y^{2}} = c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4}$

$a^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = c^{2} x^{2} - 2 a^{2} c x + a^{4}$ 。 $- 2 a^{2} c x$ が消えて

$(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2})$

ここで $a < c$ なので $a^{2} - c^{2}$ は負です。 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ と置くと $- b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = - a^{2} b^{2}$ 、両辺を $- a^{2} b^{2}$ で割って

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$

楕円のときとまったく同じ計算で、 $a^{2} - c^{2}$ の符号だけが違いました。その符号が $y^{2}$ の前のマイナスになります。

$c$ が斜辺、 $a$ と $b$ が直角をはさむ $2$ 辺です。楕円では $a$ が斜辺でしたが、双曲線では $c$ が斜辺になります。 $a$ を伸ばせば $b$ が縮み、焦点までの距離は変わりません。

例で式を作る

焦点が $(\pm 5, 0)$ 、距離の差が $6$ の双曲線を求めます。

$2 a = 6$ から $a = 3$ 、 $c = 5$ 。 $b^{2} = 25 - 9 = 16$ です。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$

頂点は $(\pm 3, 0)$ 、漸近線は $y = \pm \frac{4}{3} x$ 。 $3$ , $4$ , $5$ の直角三角形が現れました。

焦点が $(0, \pm 13)$ 、差が $24$ なら縦に開きます。 $a = 12$ , $c = 13$ 、 $b^{2} = 169 - 144 = 25$ 。式は $\frac{y ^{2}}{144} - \frac{x ^{2}}{25} = 1$ です。

逆に差を読む

$\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の $2$ 焦点からの距離の差を求めます。

$a = 4$ なので差は $2 a = 8$ 。 $b = 3$ から $c = 16 + 9 = 5$ 、焦点は $(\pm 5, 0)$ です。

頂点 $(4, 0)$ で確かめます。右の焦点まで $1$ 、左の焦点まで $9$ 、差は $8$ 。合っています。

定義に戻ると速い問題

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ 上の点 $P$ について、右の焦点までの距離が $2$ のときの左の焦点までの距離を求めます。

差が $2 a = 6$ と分かっているので、左までは $2 + 6 = 8$ 。座標を求める必要はありません。

ただし $2 - 6 = - 4$ は負になるので不適。 $P$ が右の枝にあることが、この時点で決まっています。

差が一定という性質の使われ方

$2$ 地点で音や電波の到達時刻の差を測ると、発信源までの距離の差が分かります。差が一定の点は双曲線を描くので、発信源はその曲線上にあると絞れます。

もう $1$ 組の観測点で別の双曲線を引き、 $2$ 本の交点をとれば位置が決まる。船舶や航空機の位置決定に使われてきた仕組みです。

楕円が「和が一定」で閉じた形になるのに対し、双曲線の「差が一定」は測定の差から位置を絞るという使い道につながっています。

2 定点からの距離の差が一定になる点を集めると双曲線になります。差の符号がどちらの枝かを決め、絶対値が付く理由もそこにある。楕円と同じ計算で導けて、違うのは a² - c² の符号だけ。差が存在するには a < c が要ります。焦点から式を作る例、定義に戻ると座標を求めずに済む問題、位置決定への使われ方まで。