接点がないのに引ける直線 - 二次曲線の極と極線

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線は、 $\frac{x x _{1}}{a ^{2}} + \frac{y y _{1}}{b ^{2}} = 1$ でした。

この式に、曲線の上にない点を入れてみます。 $(x_{1}, y_{1})$ が外にあっても内にあっても、出てくるのは直線。その直線には意味があります^[1]。

接線の公式の形

接線の式は、もとの方程式の $x^{2}$ を $x x_{1}$ に、 $y^{2}$ を $y y_{1}$ に置きかえた形をしています^[3]。

$x$ を $\frac{x + x _{1}}{2}$ に置きかえる、と覚えてもよい。1 次の項がある場合まで含めて、この置きかえで通ります。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ なら $y y_{1} = 2 p (x + x_{1})$ 。円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ なら $x x_{1} + y y_{1} = r^{2}$ です。

外の点を入れると接点を結ぶ直線が出る

点 $A (x_{1}, y_{1})$ を楕円の外にとり、そこから 2 本の接線を引きます。接点を $P$ 、 $Q$ とする。

$P (x_{2}, y_{2})$ での接線は $\frac{x x _{2}}{a ^{2}} + \frac{y y _{2}}{b ^{2}} = 1$ で、これが $A$ を通ります。

$\frac{x _{1} x _{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y _{2}}{b ^{2}} = 1$

この式は「 $P$ が直線 $\frac{x x _{1}}{a ^{2}} + \frac{y y _{1}}{b ^{2}} = 1$ の上にある」とも読めます。 $x$ と $y$ にどちらの座標を入れるかを入れかえただけ。

$Q$ についても同じ式が立つので、この直線は $P$ と $Q$ の両方を通る。2 点を通る直線は 1 本しかないので、それが $PQ$ です^[1]。

$A$ を極、直線 $PQ$ を $A$ の極線と呼びます。

例： $x$ 軸の上に極をとる

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ で、極を $A (6, 0)$ とします。

極線は $\frac{6 x}{9} = 1$ 、つまり $x = \frac{3}{2}$ 。縦の直線です。

接点を求めます。 $x = \frac{3}{2}$ を楕円に代入すると $\frac{1}{4} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ で $y = \pm 3$ 。

接点 $(\frac{3}{2}, 3)$ での接線は $\frac{x}{6} + \frac{3 y}{4} = 1$ 。 $(6, 0)$ を入れると $1 = 1$ で、たしかに通ります。

例： $y$ 軸の上に極をとる

同じ楕円で $A (0, 4)$ とすると、極線は $\frac{4 y}{4} = 1$ から $y = 1$ 。

代入して $\frac{x ^{2}}{9} = \frac{3}{4}$ 、 $x = \pm \frac{3 3}{2}$ が接点です。

極が軸の上にあると、極線は軸に垂直になります。対称性から当然の結果になる。

極が曲線の上にあるとき

$(x_{1}, y_{1})$ が楕円の上にあれば、 $\frac{x _{1}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{1}^{2}}{b ^{2}} = 1$ が成り立ちます。

このとき極線は、その点自身を通ります。接線とまったく同じ直線になる。

2 つの接点が 1 点に重なった形、と見られます。極線は接線を含む、より広い考え方です^[1]。

極が内側にあるとき

極が楕円の内側にあると、接線は 1 本も引けません。それでも極線の式は書けます。

出てくるのは、楕円と交わらない直線。この直線には別の意味づけがあります^[1]。

$A$ を通る弦を 1 本引き、その両端での接線の交点をとる。弦を回すと交点が動き、その軌跡が $A$ の極線になります。

極が内側にあるときの極線は、 $A$ を通る弦の両端で引いた接線が出会う点の集まりです。

極が外にあるときは、この交点が $A$ 自身に重なります。内と外で役割が入れかわる。

極と極線は入れかわる

$B$ が $A$ の極線の上にあるとします。このとき $B$ の極線は $A$ を通ります^[1]。

理由は式の対称性。 $B$ が $A$ の極線上にある条件は次の式です。

$\frac{x _{1} x _{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y _{2}}{b ^{2}} = 1$

$1$ と $2$ を入れかえても同じ式。だから「 $A$ が $B$ の極線上にある」とも読めます。

ラ・イールの定理と呼ばれる関係です。点と直線を入れかえても言明が生きる、という形の対応になっている^[1]。

焦点の極線は準線になる

楕円の焦点 $(c, 0)$ を極にとります。極線は $\frac{c x}{a ^{2}} = 1$ 、つまり $x = \frac{a ^{2}}{c}$ 。

これは準線そのものです^[2]^[4]。離心率の定義に出てくるあの直線が、極と極線の言葉でも書けました。

放物線でも同じことが起こります。 $y^{2} = 4 p x$ の焦点 $(p, 0)$ を入れると $0 = 2 p (x + p)$ で $x = - p$ 。準線になる。

円では距離が逆数の形で結ばれる

円 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ で、極を中心から距離 $d$ の点にとります。極線は中心から $\frac{r ^{2}}{d}$ の距離に立つ直線。

$d$ が大きいほど極線は中心に近づき、 $d$ が小さいほど遠ざかります。掛けると $r^{2}$ で一定。

$d = r$ なら極線までの距離も $r$ 。円の上の点では極線が接線になる、という話と合っています。

中心を極にすると

楕円の中心 $(0, 0)$ を入れると、極線の式は $0 = 1$ になります。満たす点は 1 つもない。

中心には極線がない、と言うこともできますが、無限に遠い直線が対応していると考えるほうが自然。極が中心に近づくほど、極線はどこまでも遠ざかっていきます。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ について、点 $(8, 2)$ の極線はどれですか。

$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$
$\frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1$
$8 x + 2 y = 1$

__RESULT__

$\frac{8 x}{16} + \frac{2 y}{4} = 1$ を整理すると $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$ です。分母は極の座標ではなく、もとの方程式の $a^{2}$ と $b^{2}$ をそのまま使います。

相互の関係も確かめます。

点 $B$ が点 $A$ の極線の上にあるとき、確実に言えるのはどれですか。

$A$ と $B$ は曲線上にある
$A$ は $B$ の極線の上にある
直線 $AB$ が曲線に接する

__RESULT__

条件の式が $A$ と $B$ の座標について対称なので、立場を入れかえても成り立ちます。曲線上にあるかどうかは、この条件からは決まりません。

接線の公式に外の点を入れる。ただそれだけの操作から、接弦も準線も、点と直線の入れかわりも出てきます。

参考文献

Polar. Wolfram MathWorld.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

Ellipse. Wolfram MathWorld.

接線の公式 $xx_1/a^2 + yy_1/b^2 = 1$ に、曲線の外の点を入れても直線が出てきます。その直線は、外の点から引いた 2 本の接線の接点を結ぶ弦。点を極、直線を極線と呼びます。条件の式が 2 点の座標について対称なので、$\mathrm{B}$ が $\mathrm{A}$ の極線上にあれば $\mathrm{A}$ も $\mathrm{B}$ の極線上にある。焦点を極にとると極線がそのまま準線になり、極が内側なら接線は引けなくても極線は残ります。