直交する 2 接線の交点が描く円（楕円・双曲線の準円）

楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ に、直角に交わる 2 本の接線を引きます。交点は必ず $x^{2} + y^{2} = 13$ の上に来る。

$13 = 9 + 4$ です。一般に $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら、交点は半径 $a^{2} + b^{2}$ の円を描きます^[1]。この円を準円と呼びます。

傾きから接線を書く

$y = m x + k$ を楕円に代入し、重解になる条件を出します。整理すると次の関係が残る。

$k^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$

傾き $m$ を決めれば、接線は上下に 1 本ずつ。 $k$ の符号で 2 本に分かれます^[3]。

交点から 2 本の傾きを見る

外の点 $(p, q)$ を通る接線を考えます。 $q = m p + k$ なので $k = q - m p$ を代入する。

$(q - m p)^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$

$m$ について整理すると、次の 2 次方程式になります。

$(p^{2} - a^{2}) m^{2} - 2 pq m + (q^{2} - b^{2}) = 0$

この方程式の 2 解が、 $(p, q)$ から引ける 2 本の接線の傾き。解と係数の関係が使えます。

$m_{1} m_{2} = \frac{q ^{2} - b ^{2}}{p ^{2} - a ^{2}}$

2 本が直交する条件は $m_{1} m_{2} = - 1$ 。分母を払うと $q^{2} - b^{2} = - (p^{2} - a^{2})$ となり、 $p^{2} + q^{2} = a^{2} + b^{2}$ が出ます。

点 $(p, q)$ の満たす式が、中心からの距離だけで書けました。これが準円です^[2]。

例：傾きが $\pm 1$ になる点

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ で、点 $(0, 13)$ から接線を引きます。

$p = 0$ 、 $q = 13$ を代入すると $- 9 m^{2} + (13 - 4) = 0$ 。整理して $m^{2} = 1$ です。

傾きは $1$ と $- 1$ 。積が $- 1$ なので直交しています。

接線は $y = x + 13$ と $y = - x + 13$ 。どちらも $k^{2} = 9 + 4 = 13$ を満たしています。

例：長方形の角にあたる点

同じ楕円で点 $(3, 2)$ を見る。 $9 + 4 = 13$ なので、準円の上にある点です。

ここを通る接線は $x = 3$ と $y = 2$ の 2 本。頂点での接線と、短軸の端での接線です。

縦の直線は傾きが定まらないので、さきほどの $m$ の式には乗りません。 $p^{2} - a^{2} = 0$ となり、2 次の項が消えてしまう。

こういう点では、はじめから縦の接線があると見て処理します。 $x = \pm a$ と $y = \pm b$ の交点は、外接長方形の 4 つの角にあたる。

外接長方形とのつながり

楕円に外接する長方形は、4 辺が接線で、隣り合う辺が直交しています。だから 4 つの角はすべて準円の上に乗る。

対角線の長さは $2 a^{2} + b^{2}$ で、傾け方によらず一定です。長方形の外接円が準円そのもの、という言い方もできます^[1]。

$a = b = r$ の円なら準円は $x^{2} + y^{2} = 2 r^{2}$ 。半径 $2 r$ で、外接正方形の対角線の半分になります。

双曲線の準円は小さくなる

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の接線条件は $k^{2} = a^{2} m^{2} - b^{2}$ です^[4]。符号が 1 か所変わる。

同じ手順で $(p, q)$ を通る接線の傾きを求めると、次の 2 次方程式になります。

$(p^{2} - a^{2}) m^{2} - 2 pq m + (q^{2} + b^{2}) = 0$

$m_{1} m_{2} = - 1$ とおくと $q^{2} + b^{2} = a^{2} - p^{2}$ 、つまり $p^{2} + q^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。

半径が $a^{2} - b^{2}$ になりました。楕円では足していたところが、引き算に変わっています^[2]。

準円が消える場合

$a > b$ でなければ、 $a^{2} - b^{2}$ は正になりません。準円が存在しない双曲線がある、ということです^[1]。

$a = b$ の直角双曲線では半径が $0$ 。中心 1 点だけが残ります。中心から引いた 2 本の漸近線は、たしかに直交している。

$a < b$ になると、実数の点が 1 つも残らない。漸近線の傾き $\pm \frac{b}{a}$ が急になり、開き方が狭くなるので、直交する 2 本の接線が引けなくなります。

楕円

準円は $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。どんな楕円にも必ずある

双曲線

準円は $x^{2} + y^{2} = a^{2} - b^{2}$ 。 $a > b$ のときだけ現れる

放物線では円が直線にほどける

$y^{2} = 4 p x$ の接線は $y = m x + \frac{p}{m}$ と書けます。点 $(h, k)$ を通るとして代入する。

$m^{2} h - mk + p = 0$

解と係数の関係から $m_{1} m_{2} = \frac{p}{h}$ 。これが $- 1$ になるのは $h = - p$ のときです。

$x = - p$ は準線そのもの。放物線では、直交する 2 接線の交点が準線の上に並びます^[1]。

中心が無限に遠ざかると、円は半径が無限大になって直線に近づく。準円が準線にほどけた、と読めます。

準線と準円は別のもの

名前が似ているので混ざりやすいところ。準線は焦点と組みになって離心率を決める直線で、準円は直交する 2 接線の交点が作る円です。

放物線でだけ、この 2 つが同じ直線になります。ほかの曲線では別の図形。

準円の半径には焦点距離 $c$ が出てきません。 $a^{2} + b^{2}$ であって $a^{2} - b^{2}$ ではない、という点も混同しやすい。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の準円はどれですか。

$x^{2} + y^{2} = 7$
$x^{2} + y^{2} = 25$
$x^{2} + y^{2} = 16$

__RESULT__

$a^{2} + b^{2} = 16 + 9 = 25$ です。 $7$ は $a^{2} - b^{2}$ で焦点の位置に関わる値、 $16$ は $a^{2}$ にあたります。

双曲線の側も見ます。

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ について正しいのはどれですか。

準円は $x^{2} + y^{2} = 13$
準円は $x^{2} + y^{2} = 5$
準円にあたる実数の点はない

__RESULT__

$a^{2} - b^{2} = 4 - 9 = - 5$ で負になります。この双曲線には、直交する 2 本の接線が引ける点がありません。

接線を傾きで書き、通る点を代入し、解と係数の関係で積を見る。この 3 手だけで、3 種類すべての答えが出てきます。

出典

Director circle. Wikipedia.

Cercle orthoptique. Bibm@th.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

Hyperbola. Wolfram MathWorld.

楕円 $x^2/9 + y^2/4 = 1$ に直角に交わる 2 本の接線を引くと、交点はいつも $x^2 + y^2 = 13$ の上にあります。接線を $y = mx + k$ と置き、通る点を代入して $m$ の $2$ 次方程式にし、解と係数の関係で積を $-1$ とおくだけ。双曲線では半径が $\sqrt{a^2 - b^2}$ になり、$a \leq b$ だと消えてしまう。放物線では円がほどけて準線になります。外接長方形の 4 つの角がこの円に乗る話も。