xy の項があったら回して消す｜二次曲線の回転移動と判別式

$xy=1$ のグラフは、中学で習った反比例の曲線です。これを $45$ 度回すと $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ になり、双曲線の標準形が現れます。

$xy$ の項は、曲線が座標軸に対して傾いていることを表す印。回して消せば、知っている形に戻ります。

一般形のどこに傾きが出るか

$x$ と $y$ の 2 次式は、まとめて次の形に書けます^[3]。

$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$

$D$ と $E$ は平行移動、$F$ は大きさに関わる部分。傾きを担っているのは $B$ だけです。

$B=0$ なら平方完成で標準形へ持っていけます。$B\ne 0$ のときは、先に回転させて $B$ を消す必要がある^[2]。

座標軸を $\theta$ だけ回す

新しい座標 $(x^{\prime },y^{\prime })$ との関係は、回転の公式で書けます^[3]。

$$\begin{array}{rl}x& =x^{\prime }\cos \theta -y^{\prime }\sin \theta \\ y& =x^{\prime }\sin \theta +y^{\prime }\cos \theta \end{array}$$

これを代入して整理すると、$x^{\prime }{y}^{\prime }$ の係数は次のようになります。

$$B^{\prime }=B\cos 2\theta -(A-C)\sin 2\theta$$

$B^{\prime }=0$ とおけば $\tan 2\theta =\frac{B}{A-C}$、言いかえると $\cot 2\theta =\frac{A-C}{B}$ です^[3]。

$A=C$ のときは分母が $0$ になり、$2\theta =90^{\circ }$ すなわち $\theta =45^{\circ }$。よく出てくる形です。

回している最中の楕円は、灰色のまま動きません。動いているのは軸のほう。

例：$xy=1$ を回す

$A=C=0$、$B=1$ なので $A-C=0$。$\cot 2\theta =0$ から $2\theta =90^{\circ }$、$\theta =45^{\circ }$ です。

$\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}$ を代入します。

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{x^{\prime }-y^{\prime }}{\sqrt{2}}\\ y& =\frac{x^{\prime }+y^{\prime }}{\sqrt{2}}\end{array}$$

積をとると $xy=\frac{x^{\prime 2}-y^{\prime 2}}{2}$。$xy=1$ は次の式に変わります。

$$\frac{x^{\prime 2}}{2}-\frac{y^{\prime 2}}{2}=1$$

$a=b=\sqrt{2}$ の双曲線です。$a$ と $b$ が等しい双曲線は漸近線が直交し、直角双曲線と呼ばれます^[4]。

反比例のグラフは双曲線だった。漸近線は $x$ 軸と $y$ 軸そのもので、たしかに直交しています^[1]。

判別式は回しても変わらない

回転角を求める前に、どの種類の曲線かを知る方法があります。$B^2-4AC$ を計算するだけ^[3]。

この値は回転で変わりません。だから回す前の式のまま判定できます。

$xy=1$ なら $1-0=1>0$ で双曲線。回す前から分かっていた、ということになります。

例：$8x^2-12xy+17y^2=20$

判別式は $144-4\times 8\times 17=144-544=-400$。負なので楕円です^[3]。

$\cot 2\theta =\frac{8-17}{-12}=\frac{3}{4}$ なので $\cos 2\theta =\frac{3}{5}$、$\sin 2\theta =\frac{4}{5}$。

半角の関係から ${\cos }^2\theta =\frac{1+3/5}{2}=\frac{4}{5}$ で、$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{5}}$、$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{5}}$ になります。

新しい $x^{\prime 2}$ の係数を計算すると $8\times \frac{4}{5}-12\times \frac{2}{5}+17\times \frac{1}{5}=5$。

$$5x^{\prime 2}+20y^{\prime 2}=20\text{つまり}\frac{x^{\prime 2}}{4}+y^{\prime 2}=1$$

長軸が $4$、短軸が $2$ の楕円。それが $\tan \theta =\frac{1}{2}$ の向きに傾いていた、と読めます。

係数だけで標準形を出す近道

回転後の $x^{\prime 2}$ と $y^{\prime 2}$ の係数を $A^{\prime }$、$C^{\prime }$ とします。回しても変わらない量が 2 つあるので、連立できます^[2]。

和は $A^{\prime }+C^{\prime }=A+C$、積は $A^{\prime }{C}^{\prime }=AC-\frac{B^2}{4}$。この 2 つから $A^{\prime }$ と $C^{\prime }$ が求まります。

$$t^2-(A+C)t+\left(AC-\frac{B^2}{4}\right)=0$$

さきほどの例なら $t^2-25t+100=0$ で $t=5,20$。角度を求めずに標準形までたどり着けます。

この 2 次方程式には別の顔があります。式の 2 次の部分を行列で書いたときの、固有値を求める式と同じもの。

$$\left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right)$$

対称行列は回転で対角化できます^[2]。「回して $xy$ を消す」という操作を、行列の言葉で言い直すと対角化になります。

例：$x^2+4xy+y^2=12$

判別式は $16-4=12>0$ なので双曲線です。$A=C$ なので $\theta =45^{\circ }$。

$A^{\prime }+C^{\prime }=2$、$A^{\prime }{C}^{\prime }=1-4=-3$ から $t^2-2t-3=0$。$t=3,-1$ です。

$$3x^{\prime 2}-y^{\prime 2}=12\text{つまり}\frac{x^{\prime 2}}{4}-\frac{y^{\prime 2}}{12}=1$$

$a=2$、$b=2\sqrt{3}$ の双曲線。漸近線の傾きは $\pm \sqrt{3}$。

例：判別式が $0$ になる場合

$x^2-2xy+y^2-4x=0$ を見ます。判別式は $4-4=0$ なので放物線です。

$2$ 次の部分は $(x-y{)}^2$ とまとまる。$A=C$ なので、やはり $45^{\circ }$ 回す。

$x-y=-\sqrt{2}{y}^{\prime }$、$x=\frac{x^{\prime }-y^{\prime }}{\sqrt{2}}$ を代入すると $2y^{\prime 2}=2\sqrt{2}(x^{\prime }-y^{\prime })$ になります。

$y^{\prime 2}+\sqrt{2}{y}^{\prime }=\sqrt{2}{x}^{\prime }$ を平方完成して、${\left(y^{\prime }+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\sqrt{2}\left(x^{\prime }+\frac{1}{2}\right)$。頂点がずれた放物線です。

回転が先、平行移動があと

$B\ne 0$ の式をいきなり平方完成しようとしても、$xy$ が残っていて $x$ だけの平方にまとまりません。

順番は回転が先、平行移動があと。回して $B$ を消してから $D$ と $E$ を平方完成で処理します^[1]。

逆に $B=0$ なら回す必要はありません。平行移動だけで標準形に届く。

つぶれてしまう場合

判別式が負でも、楕円になるとは限りません。$x^2+y^2=0$ は原点 1 点、$x^2+y^2=-1$ は空集合です^[1]。

判別式が正のとき $x^2-y^2=0$ なら、$y=\pm x$ という 2 直線になります。

種類の見当をつけるところまでが判別式の仕事。最後は式そのものを確かめます。

回転角を求めずに標準形へ届く手も確かめます。

$xy$ があるかどうかを見て、あれば回す。回したあとは平方完成に任せる。この 2 段構えで、どんな 2 次式も標準形にたどり着きます。

出典