xy も 1 次の項もある式から中心と軸を読む

$5 x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} - 16 x + 16 y - 16 = 0$ という式を渡されたとします。

これは中心 $(1, - 1)$ 、長半径 $4$ 、短半径 $2$ の楕円で、長軸は $4 5^{\circ}$ の向き。式から読みとる手順は決まっています^[1]。

4 つの段階

一般形には $x y$ の項と $1$ 次の項が両方あります。傾きと位置ずれが混ざった状態です。

やることは 4 つ。種類を判定し、中心を出し、標準形の係数を出し、軸の向きを出す。

順番も決まっています。中心を先に出すと $1$ 次の項が消え、あとは回転だけの問題になる^[3]。

段階	使うもの	出てくるもの
種類の判定	$B^{2} - 4 A C$	楕円・放物線・双曲線
中心	$1$ 次の項を消す連立	$(x_{0}, y_{0})$
標準形の係数	和 $A + C$ と積 $A C - B^{2} /4$	$A^{'}$ と $C^{'}$
軸の向き	$cot 2 θ = \frac{A - C}{B}$	$θ$

中心を出す

$x = x_{0} + u$ 、 $y = y_{0} + v$ と置いて代入します。 $u$ と $v$ の $1$ 次の係数は次のようになる。

$2 A x_{0} + B y_{0} + D B x_{0} + 2 C y_{0} + E = 0 = 0$

これを解けば中心です。もとの式を $x$ と $y$ で偏微分して $0$ と置いた形、と言い直せます。

例の式なら $10 x - 6 y - 16 = 0$ と $- 6 x + 10 y + 16 = 0$ 。解くと $(1, - 1)$ が出ます。

定数項は中心での値

中心へ移したあとの定数項は、もとの式に中心の座標を代入した値そのもの。 $1$ 次の項が消えるので、こうなります。

$5 + 6 + 5 - 16 - 16 - 16 = - 32$ 。移したあとの式は $5 u^{2} - 6 uv + 5 v^{2} = 32$ です。

$1$ 次の項が本当に消えているかは、展開して確かめられます。 $u$ の係数は $10 + 6 - 16 = 0$ 、 $v$ の係数は $- 6 - 10 + 16 = 0$ 。

中心を代入した値が定数項になるのは、中心のまわりでは $1$ 次の項が打ち消し合うからです。

中心は対称の中心。 $u$ を $- u$ に、 $v$ を $- v$ に替えても式が変わらない位置です。

標準形の係数を出す

回転しても $A + C$ と $A C - \frac{B ^{2}}{4}$ は変わりません^[2]。この 2 つから $A^{'}$ と $C^{'}$ が出ます。

例の式なら $A + C = 10$ 、 $A C - \frac{B ^{2}}{4} = 25 - 9 = 16$ 。

$t^{2} - 10 t + 16 = 0$

解は $t = 2, 8$ 。移したあとの式は $2 X^{2} + 8 Y^{2} = 32$ になります。

$\frac{X ^{2}}{16} + \frac{Y ^{2}}{4} = 1$

長半径 $4$ 、短半径 $2$ 。 $c = 16 - 4 = 23$ です。

軸の向き

$A = C = 5$ なので $cot 2 θ = 0$ 、つまり $θ = 4 5^{\circ}$ ^[2]。

長軸は $4 5^{\circ}$ の向きです。 $X$ 軸にあたる方向の単位ベクトルは $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 。

焦点はこの向きに $23$ だけ離れた 2 点。 $(1 \pm 6, - 1 \pm 6)$ になります。

どちらの係数がどちらの軸か

$t = 2$ と $t = 8$ のうち、どちらが $X^{2}$ の係数かは計算しないと決まりません。

回転後の $X^{2}$ の係数は $A cos^{2} θ + B cos θ sin θ + C sin^{2} θ$ 。 $θ = 4 5^{\circ}$ を入れると $\frac{5 - 6 + 5}{2} = 2$ です。

小さいほうが $X$ 側。係数が小さいほど分母が大きくなるので、 $X$ 方向が長軸だと分かります。

例：双曲線を読む

$x y - 2 x - 2 y + 1 = 0$ を見ます。判別式は $1 - 0 = 1 > 0$ なので双曲線。

中心の連立は $y - 2 = 0$ と $x - 2 = 0$ 。中心は $(2, 2)$ 。

中心での値は $4 - 4 - 4 + 1 = - 3$ 。移すと $uv = 3$ という形になります。

$A = C = 0$ なので $θ = 4 5^{\circ}$ 。回すと $\frac{X ^{2}}{6} - \frac{Y ^{2}}{6} = 1$ で、 $a = b = 6$ の直角双曲線です。

もとの式は $(x - 2) (y - 2) = 3$ とも書ける。因数分解できる形なら、中心はそこから直接読めます。

中心がない場合

放物線では中心の連立が解けません。係数行列の行列式が $4 A C - B^{2}$ で、 $B^{2} = 4 A C$ のとき $0$ になるためです^[1]。

このときは回転を先にして $x y$ を消し、残った $1$ 次の項を平方完成で処理します。頂点は出ますが、中心はない。

中心があるかないかで手順が分かれる。判別式が $0$ かどうかを最初に見るのは、このためでもあります。

退化しているかどうか

中心での値が $0$ になると、移したあとの式が $A^{'} X^{2} + C^{'} Y^{2} = 0$ になります。

$A^{'}$ と $C^{'}$ の符号が同じなら、これを満たすのは原点だけ。曲線ではなく 1 点です。

符号が違えば $Y = \pm - A^{'} / C^{'} X$ という 2 直線。中心で交わる 2 本になります^[4]。

中心での値が

0

でない

ふつうの楕円や双曲線になる

中心での値が

0

$1$ 点か、中心で交わる 2 直線につぶれる

つまずきやすいところ

中心の連立を $A x_{0} + B y_{0} + D = 0$ と書いてしまう誤りが多いところ。 $2 A$ と $B$ です。偏微分した形を思い出すと、符号と係数がそろう。

回転を先にやると、 $1$ 次の項が両方とも残ったままになります。平行移動を先にするほうが手数が少ない。

$A^{'}$ と $C^{'}$ をどちらの軸に割り当てるかは、 $2$ 次方程式を解いただけでは決まりません。 $θ$ を入れて片方だけ計算する。

$3 x^{2} + 2 y^{2} - 12 x + 4 y + 8 = 0$ の中心はどれですか。

$(2, - 1)$
$(- 2, 1)$
$(6, - 2)$

__RESULT__

$6 x - 12 = 0$ と $4 y + 4 = 0$ を解いて $(2, - 1)$ です。 $1$ 次の項の係数をそのまま符号を変えて使うと、 $(6, - 2)$ のような値になってしまいます。

退化のほうも確かめます。

中心を持つ二次曲線で、中心の座標を式に代入した値が $0$ になりました。この曲線はどれですか。

楕円または双曲線
$1$ 点または 2 直線
放物線

__RESULT__

定数項が消えて $A^{'} X^{2} + C^{'} Y^{2} = 0$ になるためです。放物線はそもそも中心を持ちません。

判別式、中心、係数、角度。読む順番を決めておけば、 $x y$ が入った式でも手が止まりません。

参考文献

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Rotation of Axes/12%3A_Analytic_Geometry/12.04%3A_Rotation_of_Axes). Algebra and Trigonometry, OpenStax.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

Ellipse. Wolfram MathWorld.

$5x^2 - 6xy + 5y^2 - 16x + 16y - 16 = 0$ は、中心 $(1, -1)$、長半径 $4$、短半径 $2$ で長軸が $45^\circ$ を向いた楕円です。判別式で種類を見て、$1$ 次の項を消す連立で中心を出し、和と積から $2$ 次方程式で係数を出し、$\cot 2\theta$ で角度を出す。中心での式の値がそのまま定数項になり、それが $0$ なら $1$ 点か $2$ 直線につぶれます。放物線に中心がない理由も同じ連立から見えます。