xy も 1 次の項もある式から中心と軸を読む

$5x^2-6xy+5y^2-16x+16y-16=0$ という式を渡されたとします。

これは中心 $(1,-1)$、長半径 $4$、短半径 $2$ の楕円で、長軸は $45^{\circ }$ の向き。式から読みとる手順は決まっています^[1]。

4 つの段階

一般形には $xy$ の項と $1$ 次の項が両方あります。傾きと位置ずれが混ざった状態です。

やることは 4 つ。種類を判定し、中心を出し、標準形の係数を出し、軸の向きを出す。

順番も決まっています。中心を先に出すと $1$ 次の項が消え、あとは回転だけの問題になる^[3]。

中心を出す

$x=x_0+u$、$y=y_0+v$ と置いて代入します。$u$ と $v$ の $1$ 次の係数は次のようになる。

$$\begin{array}{rl}2A{x}_0+B{y}_0+D& =0\\ B{x}_0+2C{y}_0+E& =0\end{array}$$

これを解けば中心です。もとの式を $x$ と $y$ で偏微分して $0$ と置いた形、と言い直せます。

例の式なら $10x-6y-16=0$ と $-6x+10y+16=0$。解くと $(1,-1)$ が出ます。

定数項は中心での値

中心へ移したあとの定数項は、もとの式に中心の座標を代入した値そのもの。$1$ 次の項が消えるので、こうなります。

$5+6+5-16-16-16=-32$。移したあとの式は $5u^2-6uv+5v^2=32$ です。

$1$ 次の項が本当に消えているかは、展開して確かめられます。$u$ の係数は $10+6-16=0$、$v$ の係数は $-6-10+16=0$。

標準形の係数を出す

回転しても $A+C$ と $AC-\frac{B^2}{4}$ は変わりません^[2]。この 2 つから $A^{\prime }$ と $C^{\prime }$ が出ます。

例の式なら $A+C=10$、$AC-\frac{B^2}{4}=25-9=16$。

$$t^2-10t+16=0$$

解は $t=2,8$。移したあとの式は $2X^2+8Y^2=32$ になります。

$$\frac{X^2}{16}+\frac{Y^2}{4}=1$$

長半径 $4$、短半径 $2$。$c=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$ です。

軸の向き

$A=C=5$ なので $\cot 2\theta =0$、つまり $\theta =45^{\circ }$^[2]。

長軸は $45^{\circ }$ の向きです。$X$ 軸にあたる方向の単位ベクトルは $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。

焦点はこの向きに $2\sqrt{3}$ だけ離れた 2 点。$(1\pm \sqrt{6},-1\pm \sqrt{6})$ になります。

どちらの係数がどちらの軸か

$t=2$ と $t=8$ のうち、どちらが $X^2$ の係数かは計算しないと決まりません。

回転後の $X^2$ の係数は $A{\cos }^2\theta +B\cos \theta \sin \theta +C{\sin }^2\theta$。$\theta =45^{\circ }$ を入れると $\frac{5-6+5}{2}=2$ です。

小さいほうが $X$ 側。係数が小さいほど分母が大きくなるので、$X$ 方向が長軸だと分かります。

例：双曲線を読む

$xy-2x-2y+1=0$ を見ます。判別式は $1-0=1>0$ なので双曲線。

中心の連立は $y-2=0$ と $x-2=0$。中心は $(2,2)$。

中心での値は $4-4-4+1=-3$。移すと $uv=3$ という形になります。

$A=C=0$ なので $\theta =45^{\circ }$。回すと $\frac{X^2}{6}-\frac{Y^2}{6}=1$ で、$a=b=\sqrt{6}$ の直角双曲線です。

もとの式は $(x-2)(y-2)=3$ とも書ける。因数分解できる形なら、中心はそこから直接読めます。

中心がない場合

放物線では中心の連立が解けません。係数行列の行列式が $4AC-B^2$ で、$B^2=4AC$ のとき $0$ になるためです^[1]。

このときは回転を先にして $xy$ を消し、残った $1$ 次の項を平方完成で処理します。頂点は出ますが、中心はない。

中心があるかないかで手順が分かれる。判別式が $0$ かどうかを最初に見るのは、このためでもあります。

退化しているかどうか

中心での値が $0$ になると、移したあとの式が $A^{\prime }{X}^2+C^{\prime }{Y}^2=0$ になります。

$A^{\prime }$ と $C^{\prime }$ の符号が同じなら、これを満たすのは原点だけ。曲線ではなく 1 点です。

符号が違えば $Y=\pm \sqrt{-A^{\prime }/C^{\prime }}X$ という 2 直線。中心で交わる 2 本になります^[4]。

つまずきやすいところ

中心の連立を $A{x}_0+B{y}_0+D=0$ と書いてしまう誤りが多いところ。$2A$ と $B$ です。偏微分した形を思い出すと、符号と係数がそろう。

回転を先にやると、$1$ 次の項が両方とも残ったままになります。平行移動を先にするほうが手数が少ない。

$A^{\prime }$ と $C^{\prime }$ をどちらの軸に割り当てるかは、$2$ 次方程式を解いただけでは決まりません。$\theta$ を入れて片方だけ計算する。

退化のほうも確かめます。

判別式、中心、係数、角度。読む順番を決めておけば、$xy$ が入った式でも手が止まりません。

参考文献