二次曲線の極方程式（楕円も双曲線も 1 本の式で書ける）

楕円、双曲線、放物線は、直交座標では別々の式で書きます。極座標にすると、 $1$ 本の式にまとまります。

$r = \frac{e ℓ}{1 + e cos θ}$

$e$ が離心率、 $ℓ$ が焦点から準線までの距離。 $e$ の値を変えるだけで $3$ 種類すべてが出てきます。

$e$ を上げていくと、閉じた楕円が細長くなり、 $1$ を越えた瞬間に開いて双曲線へ変わります。焦点は動きません。曲線のほうが $e$ に合わせて姿を変えます。

式の出どころ

離心率の定義は、焦点までの距離と準線までの距離の比でした。

$\frac{PF}{PH} = e$

極を焦点にとります。 $PF = r$ です。準線を $x = ℓ$ とすると、点 $P$ の $x$ 座標は $r cos θ$ なので

$PH = ℓ - r cos θ$

これを比の式に入れます。

$r = e (ℓ - r cos θ)$

$r$ について解きます。 $r + er cos θ = e ℓ$ 、 $r (1 + e cos θ) = e ℓ$ から

$r = \frac{e ℓ}{1 + e cos θ}$

定義をそのまま座標に書き下しただけ。直交座標のように $2$ 乗して整理する手間がありません。

3 種類の分かれ目

分母の $1 + e cos θ$ が $0$ になるかどうかが分かれ目です。 $cos θ$ は $- 1$ から $1$ まで動きます。

e < 1

なら

e cos θ > - 1

で分母は正のまま。

r

が有限で曲線が閉じる。

e = 1

なら

θ = π

で分母が

0

。その向きだけ無限に遠ざかる。

e > 1

なら分母が

0

になる

θ

が

2

つ。

2

方向へ飛び、枝が

2

本になる。

分母が $0$ になる向きが、双曲線の漸近線の向きにあたります。 $3$ 種類の違いが、 $1$ つの分母の符号で説明できる形です。

分母を $θ$ の関数として描いたものです。横軸に触れる回数が、 $0$ 回・ $1$ 回・ $2$ 回と変わります。触れた向きで $r$ が飛ぶので、それが曲線の形の違いになります。

直交座標へ戻す

$r = \frac{2}{1 + cos θ}$ を直交座標に直します。 $e = 1$ なので放物線のはずです。

分母を払います。

$r + r cos θ = 2$

$r cos θ = x$ を使うと $r = 2 - x$ 。両辺を $2$ 乗して $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ を入れます。

$x^{2} + y^{2} = (2 - x)^{2} = 4 - 4 x + x^{2}$

$x^{2}$ が消えて $y^{2} = - 4 x + 4 = - 4 (x - 1)$ 。頂点 $(1, 0)$ 、左に開く放物線でした。焦点が原点にあります。

楕円の例

$r = \frac{3}{2 + cos θ}$ を直します。分母の定数項を $1$ にそろえます。

$r = \frac{3/2}{1 + \frac{1}{2} cos θ}$

$e = \frac{1}{2}$ で楕円と分かります。 $e ℓ = \frac{3}{2}$ から $ℓ = 3$ です。

直交座標へ直すには、 $2 r + r cos θ = 3$ から $2 r = 3 - x$ 。 $2$ 乗して $4 (x^{2} + y^{2}) = 9 - 6 x + x^{2}$ 。

$3 x^{2} + 6 x + 4 y^{2} = 9$

$3 (x + 1)^{2} + 4 y^{2} = 12$ 、両辺を $12$ で割って $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 。中心 $(- 1, 0)$ 、 $a = 2$ , $b = 3$ の楕円です。

焦点を確かめます。 $c^{2} = 4 - 3 = 1$ なので、中心から $\pm 1$ の $(0, 0)$ と $(- 2, 0)$ 。原点が焦点になっていました。

双曲線の例

$r = \frac{3}{1 + 2 cos θ}$ は $e = 2$ で双曲線です。 $e ℓ = 3$ から $ℓ = \frac{3}{2}$ 。

分母が $0$ になるのは $cos θ = - \frac{1}{2}$ 、つまり $θ = \frac{2 π}{3}$ と $\frac{4 π}{3}$ 。この $2$ 方向が漸近線の向きです。

直交座標へは $r + 2 r cos θ = 3$ から $r = 3 - 2 x$ 。 $2$ 乗して

$x^{2} + y^{2} = 9 - 12 x + 4 x^{2}$

$3 x^{2} - 12 x - y^{2} = - 9$ 、 $3 (x - 2)^{2} - y^{2} = 3$ 。 $3$ で割って $\frac{( x - 2 ) ^{2}}{1} - \frac{y ^{2}}{3} = 1$ です。

準線の向きを変える

$cos$ を $sin$ に替えると、準線が始線に平行になります。

$r = \frac{e ℓ}{1 + e sin θ}$

こちらは上下に開く形。分母の符号を $-$ にすると、準線が反対側へ移ります。 $r = \frac{e ℓ}{1 - e cos θ}$ なら準線は $x = - ℓ$ です。

$4$ 通りの形がありますが、どれも「分母の定数項を $1$ にそろえて $e$ を読む」という手順で扱えます。

惑星の軌道

この式は天文学から来ています。太陽を焦点とする楕円軌道が $e < 1$ 、放物線軌道が $e = 1$ 、双曲線軌道が $e > 1$ 。

地球の軌道は $e$ がおよそ $0.017$ で、ほとんど円に近い。ハレー彗星は $0.967$ で細長い楕円です。 $1$ を超える軌道の天体は、太陽系を通り過ぎて二度と戻りません。

$3$ 種類の二次曲線が $1$ 本の式にまとまることは、力学の問題として自然に出てきた事実でもあります。

焦点を極にとると、r = eℓ/(1 + e cosθ) の 1 本で 3 種類が書けます。離心率の定義を座標に写すだけで出るので、2 乗して整理する手間もありません。分母が 0 になるかどうかが楕円・放物線・双曲線を分け、0 になる向きが漸近線になる。直交座標へ戻す例を 3 つ並べ、惑星の軌道との関係まで。