二次曲線の極方程式（楕円も双曲線も 1 本の式で書ける）

楕円、双曲線、放物線は、直交座標では別々の式で書きます。極座標にすると、$1$ 本の式にまとまります。

$$r=\frac{e\ell }{1+e\cos \theta }$$

$e$ が離心率、$\ell$ が焦点から準線までの距離。$e$ の値を変えるだけで $3$ 種類すべてが出てきます。

$e$ を上げていくと、閉じた楕円が細長くなり、$1$ を越えた瞬間に開いて双曲線へ変わります。焦点は動きません。曲線のほうが $e$ に合わせて姿を変えます。

式の出どころ

離心率の定義は、焦点までの距離と準線までの距離の比でした。

$$\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}=e$$

極を焦点にとります。$\mathrm{PF}=r$ です。準線を $x=\ell$ とすると、点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標は $r\cos \theta$ なので

$$\mathrm{PH}=\ell -r\cos \theta$$

これを比の式に入れます。

$$r=e(\ell -r\cos \theta )$$

$r$ について解きます。$r+er\cos \theta =e\ell$、$r(1+e\cos \theta )=e\ell$ から

$$r=\frac{e\ell }{1+e\cos \theta }$$

定義をそのまま座標に書き下しただけ。直交座標のように $2$ 乗して整理する手間がありません。

3 種類の分かれ目

分母の $1+e\cos \theta$ が $0$ になるかどうかが分かれ目です。$\cos \theta$ は $-1$ から $1$ まで動きます。

分母が $0$ になる向きが、双曲線の漸近線の向きにあたります。$3$ 種類の違いが、$1$ つの分母の符号で説明できる形です。

分母を $\theta$ の関数として描いたものです。横軸に触れる回数が、$0$ 回・$1$ 回・$2$ 回と変わります。触れた向きで $r$ が飛ぶので、それが曲線の形の違いになります。

直交座標へ戻す

$r=\frac{2}{1+\cos \theta }$ を直交座標に直します。$e=1$ なので放物線のはずです。

分母を払います。

$$r+r\cos \theta =2$$

$r\cos \theta =x$ を使うと $r=2-x$。両辺を $2$ 乗して $r^2=x^2+y^2$ を入れます。

$$x^2+y^2=(2-x{)}^2=4-4x+x^2$$

$x^2$ が消えて $y^2=-4x+4=-4(x-1)$。頂点 $(1,0)$、左に開く放物線でした。焦点が原点にあります。

楕円の例

$r=\frac{3}{2+\cos \theta }$ を直します。分母の定数項を $1$ にそろえます。

$$r=\frac{3/2}{1+\frac{1}{2}\cos \theta }$$

$e=\frac{1}{2}$ で楕円と分かります。$e\ell =\frac{3}{2}$ から $\ell =3$ です。

直交座標へ直すには、$2r+r\cos \theta =3$ から $2r=3-x$。$2$ 乗して $4(x^2+y^2)=9-6x+x^2$。

$$3x^2+6x+4y^2=9$$

$3(x+1{)}^2+4y^2=12$、両辺を $12$ で割って $\frac{(x+1{)}^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。中心 $(-1,0)$、$a=2$, $b=\sqrt{3}$ の楕円です。

焦点を確かめます。$c^2=4-3=1$ なので、中心から $\pm 1$ の $(0,0)$ と $(-2,0)$。原点が焦点になっていました。

双曲線の例

$r=\frac{3}{1+2\cos \theta }$ は $e=2$ で双曲線です。$e\ell =3$ から $\ell =\frac{3}{2}$。

分母が $0$ になるのは $\cos \theta =-\frac{1}{2}$、つまり $\theta =\frac{2\pi }{3}$ と $\frac{4\pi }{3}$。この $2$ 方向が漸近線の向きです。

直交座標へは $r+2r\cos \theta =3$ から $r=3-2x$。$2$ 乗して

$$x^2+y^2=9-12x+4x^2$$

$3x^2-12x-y^2=-9$、$3(x-2{)}^2-y^2=3$。$3$ で割って $\frac{(x-2{)}^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$ です。

準線の向きを変える

$\cos$ を $\sin$ に替えると、準線が始線に平行になります。

$$r=\frac{e\ell }{1+e\sin \theta }$$

こちらは上下に開く形。分母の符号を $-$ にすると、準線が反対側へ移ります。$r=\frac{e\ell }{1-e\cos \theta }$ なら準線は $x=-\ell$ です。

$4$ 通りの形がありますが、どれも「分母の定数項を $1$ にそろえて $e$ を読む」という手順で扱えます。

惑星の軌道

この式は天文学から来ています。太陽を焦点とする楕円軌道が $e<1$、放物線軌道が $e=1$、双曲線軌道が $e>1$。

地球の軌道は $e$ がおよそ $0.017$ で、ほとんど円に近い。ハレー彗星は $0.967$ で細長い楕円です。$1$ を超える軌道の天体は、太陽系を通り過ぎて二度と戻りません。

$3$ 種類の二次曲線が $1$ 本の式にまとまることは、力学の問題として自然に出てきた事実でもあります。