切りとられた線分の中点が接点になる｜双曲線の接線と漸近線

双曲線の接線を 1 本引くと、2 本の漸近線に両側から切りとられます。その線分の中点が、ちょうど接点になる。

さらに、接線と 2 本の漸近線が囲む三角形の面積は $ab$ で一定です^[2]。接点をどこにとっても変わりません。

漸近線を座標軸にしてみる

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の漸近線は $y=\pm \frac{b}{a}x$ でした^[3]。

この 2 本を軸にとった座標で書き直すと、双曲線の式は $XY=1$ という形になります^[1]。

反比例のグラフと同じ形。$xy=k$ で成り立つことを確かめれば、そのまま一般の双曲線に持ち帰れます。

例：$xy=k$ で確かめる

$xy=k$ の上の点を $\left(t,\frac{k}{t}\right)$ とします。微分すると $y^{\prime }=-\frac{k}{t^2}$。

接線の式を整理すると、切片の形にまとまります。

$$\frac{x}{2t}+\frac{ty}{2k}=1$$

$x$ 軸との交点は $(2t,0)$、$y$ 軸との交点は $\left(0,\frac{2k}{t}\right)$。この 2 点の中点は $\left(t,\frac{k}{t}\right)$ です。

接点そのものになりました。切片がどちらも接点の座標のちょうど 2 倍、という形になっている。

三角形の面積も出ます。$\frac{1}{2}\cdot 2t\cdot \frac{2k}{t}=2k$ で、$t$ が消えました。

一般の双曲線でも同じことが起こる

接点を $\mathrm{P}(x_1,y_1)$ とし、接線 $\frac{x{x}_1}{a^2}-\frac{y{y}_1}{b^2}=1$ を漸近線と連立させます。

$y=\frac{b}{a}x$ を代入して整理すると、交点の $x$ 座標が出る。

$$x_{\mathrm{Q}}=\frac{a^{2}b}{b{x}_1-a{y}_1},x_{\mathrm{R}}=\frac{a^{2}b}{b{x}_1+a{y}_1}$$

$\mathrm{R}$ はもう一方の漸近線 $y=-\frac{b}{a}x$ との交点です。2 つを足して 2 で割る。

$$\frac{x_{\mathrm{Q}}+x_{\mathrm{R}}}{2}=\frac{a^{2}b}{2}\cdot \frac{2b{x}_1}{b^2{x}_1^2-a^2{y}_1^2}$$

ここで $\mathrm{P}$ が双曲線の上にあることを使います。$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1$ の分母を払うと $b^2{x}_1^2-a^2{y}_1^2=a^2{b}^2$。

代入すると中点の $x$ 座標は $x_1$。$y$ 座標も同じ計算で $y_1$ になります。接点が中点だと確かめられました。

三角形の面積が一定になること

原点と 2 つの交点で作る三角形の面積は、次の行列式で書けます。

$$S=\frac{1}{2}\left|x_{\mathrm{Q}}{y}_{\mathrm{R}}-x_{\mathrm{R}}{y}_{\mathrm{Q}}\right|$$

$y_{\mathrm{Q}}=\frac{b}{a}{x}_{\mathrm{Q}}$、$y_{\mathrm{R}}=-\frac{b}{a}{x}_{\mathrm{R}}$ を入れると、$S=\frac{b}{a}{x}_{\mathrm{Q}}{x}_{\mathrm{R}}$。

$x_{\mathrm{Q}}{x}_{\mathrm{R}}=\frac{a^4{b}^2}{b^2{x}_1^2-a^2{y}_1^2}=\frac{a^4{b}^2}{a^2{b}^2}=a^2$ なので、$S=ab$ です。

接点の座標がきれいに消えました。どこで接しても三角形の面積は同じ。

原点からの距離の積も一定

$\mathrm{OQ}$ と $\mathrm{OR}$ の長さを掛けると、これも一定になります。アポロニウスが示した性質です^[2]。

$|\mathrm{OQ}|=x_{\mathrm{Q}}\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{c}{a}{x}_{\mathrm{Q}}$ で、$\mathrm{OR}$ も同じ形。

$$|\mathrm{OQ}||\mathrm{OR}|=\frac{c^2}{a^2}{x}_{\mathrm{Q}}{x}_{\mathrm{R}}=\frac{c^2}{a^2}\cdot a^2=c^2$$

値は $a^2+b^2$。焦点までの距離の 2 乗になっているところが面白い。

例：数値で追う

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ をとります。$a=3$、$b=4$、漸近線は $y=\pm \frac{4}{3}x$。

接点を $\left(5,\frac{16}{3}\right)$ とすると、接線は $\frac{5x}{9}-\frac{y}{3}=1$、整理して $5x-3y=9$。

$y=\frac{4}{3}x$ と連立すると $5x-4x=9$ で $\mathrm{Q}(9,12)$。$y=-\frac{4}{3}x$ とは $5x+4x=9$ で $\mathrm{R}\left(1,-\frac{4}{3}\right)$。

中点は $\left(5,\frac{16}{3}\right)$ で接点と一致。面積は $\frac{1}{2}\left|9\times \left(-\frac{4}{3}\right)-1\times 12\right|=12$ で $ab$ と合います。

$|\mathrm{OQ}|=15$、$|\mathrm{OR}|=\frac{5}{3}$ なので積は $25$。$a^2+b^2=25$ でした。

接点が分かれば接線が引ける

この性質は作図に使えます。接点 $\mathrm{P}$ を通り、漸近線に切られる線分の中点が $\mathrm{P}$ になる直線を引けばよい。

定規だけで手順が組めます。漸近線上に点をとり、$\mathrm{P}$ について対称な点をもう一方の漸近線上に探す。

逆に、漸近線と面積が分かっていれば双曲線が決まります。三角形の面積が $ab$ なので、$ab$ の値がそのまま読みとれるため。

反比例のグラフで見ると

$y=\frac{k}{x}$ は $xy=k$ なので、直角双曲線です。座標軸が漸近線にあたる。

接線が座標軸から切りとる三角形の面積は $2k$。$k$ を大きくすると曲線が原点から遠ざかり、三角形も大きくなります。

$a=b=\sqrt{2k}$ なので $ab=2k$。一般の式にきちんと当てはまっています^[4]。

中点の性質も確かめます。

漸近線を軸だと思って $xy=k$ に読みかえる。それだけで、中点の性質も面積の一定も、計算せずに見通せます。

参考文献