切りとられた線分の中点が接点になる｜双曲線の接線と漸近線

双曲線の接線を 1 本引くと、2 本の漸近線に両側から切りとられます。その線分の中点が、ちょうど接点になる。

さらに、接線と 2 本の漸近線が囲む三角形の面積は $ab$ で一定です^[2]。接点をどこにとっても変わりません。

漸近線を座標軸にしてみる

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ の漸近線は $y = \pm \frac{b}{a} x$ でした^[3]。

この 2 本を軸にとった座標で書き直すと、双曲線の式は $X Y = 1$ という形になります^[1]。

反比例のグラフと同じ形。 $x y = k$ で成り立つことを確かめれば、そのまま一般の双曲線に持ち帰れます。

例： $x y = k$ で確かめる

$x y = k$ の上の点を $(t, \frac{k}{t})$ とします。微分すると $y^{'} = - \frac{k}{t ^{2}}$ 。

接線の式を整理すると、切片の形にまとまります。

$\frac{x}{2 t} + \frac{t y}{2 k} = 1$

$x$ 軸との交点は $(2 t, 0)$ 、 $y$ 軸との交点は $(0, \frac{2 k}{t})$ 。この 2 点の中点は $(t, \frac{k}{t})$ です。

接点そのものになりました。切片がどちらも接点の座標のちょうど 2 倍、という形になっている。

三角形の面積も出ます。 $\frac{1}{2} \cdot 2 t \cdot \frac{2 k}{t} = 2 k$ で、 $t$ が消えました。

切片が接点の座標のきっかり 2 倍になるので、掛けたときに $t$ が約分されて消えます。

面積が一定になる仕組みはここ。片方が伸びれば、もう片方が同じ割合で縮みます。

一般の双曲線でも同じことが起こる

接点を $P (x_{1}, y_{1})$ とし、接線 $\frac{x x _{1}}{a ^{2}} - \frac{y y _{1}}{b ^{2}} = 1$ を漸近線と連立させます。

$y = \frac{b}{a} x$ を代入して整理すると、交点の $x$ 座標が出る。

$x_{Q} = \frac{a ^{2} b}{b x _{1} - a y _{1}}, x_{R} = \frac{a ^{2} b}{b x _{1} + a y _{1}}$

$R$ はもう一方の漸近線 $y = - \frac{b}{a} x$ との交点です。2 つを足して 2 で割る。

$\frac{x _{Q} + x _{R}}{2} = \frac{a ^{2} b}{2} \cdot \frac{2 b x _{1}}{b ^{2} x _{1}^{2} - a ^{2} y _{1}^{2}}$

ここで $P$ が双曲線の上にあることを使います。 $\frac{x _{1}^{2}}{a ^{2}} - \frac{y _{1}^{2}}{b ^{2}} = 1$ の分母を払うと $b^{2} x_{1}^{2} - a^{2} y_{1}^{2} = a^{2} b^{2}$ 。

代入すると中点の $x$ 座標は $x_{1}$ 。 $y$ 座標も同じ計算で $y_{1}$ になります。接点が中点だと確かめられました。

三角形の面積が一定になること

原点と 2 つの交点で作る三角形の面積は、次の行列式で書けます。

$S = \frac{1}{2} ∣ x_{Q} y_{R} - x_{R} y_{Q} ∣$

$y_{Q} = \frac{b}{a} x_{Q}$ 、 $y_{R} = - \frac{b}{a} x_{R}$ を入れると、 $S = \frac{b}{a} x_{Q} x_{R}$ 。

$x_{Q} x_{R} = \frac{a ^{4} b ^{2}}{b ^{2} x _{1}^{2} - a ^{2} y _{1}^{2}} = \frac{a ^{4} b ^{2}}{a ^{2} b ^{2}} = a^{2}$ なので、 $S = ab$ です。

接点の座標がきれいに消えました。どこで接しても三角形の面積は同じ。

原点からの距離の積も一定

$OQ$ と $OR$ の長さを掛けると、これも一定になります。アポロニウスが示した性質です^[2]。

$∣ OQ ∣ = x_{Q} 1 + \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = \frac{c}{a} x_{Q}$ で、 $OR$ も同じ形。

$∣ OQ ∣ ∣ OR ∣ = \frac{c ^{2}}{a ^{2}} x_{Q} x_{R} = \frac{c ^{2}}{a ^{2}} \cdot a^{2} = c^{2}$

値は $a^{2} + b^{2}$ 。焦点までの距離の 2 乗になっているところが面白い。

例：数値で追う

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ をとります。 $a = 3$ 、 $b = 4$ 、漸近線は $y = \pm \frac{4}{3} x$ 。

接点を $(5, \frac{16}{3})$ とすると、接線は $\frac{5 x}{9} - \frac{y}{3} = 1$ 、整理して $5 x - 3 y = 9$ 。

$y = \frac{4}{3} x$ と連立すると $5 x - 4 x = 9$ で $Q (9, 12)$ 。 $y = - \frac{4}{3} x$ とは $5 x + 4 x = 9$ で $R (1, - \frac{4}{3})$ 。

中点は $(5, \frac{16}{3})$ で接点と一致。面積は $\frac{1}{2} 9 \times (- \frac{4}{3}) - 1 \times 12 = 12$ で $ab$ と合います。

$∣ OQ ∣ = 15$ 、 $∣ OR ∣ = \frac{5}{3}$ なので積は $25$ 。 $a^{2} + b^{2} = 25$ でした。

接点が分かれば接線が引ける

この性質は作図に使えます。接点 $P$ を通り、漸近線に切られる線分の中点が $P$ になる直線を引けばよい。

定規だけで手順が組めます。漸近線上に点をとり、 $P$ について対称な点をもう一方の漸近線上に探す。

逆に、漸近線と面積が分かっていれば双曲線が決まります。三角形の面積が $ab$ なので、 $ab$ の値がそのまま読みとれるため。

接点

漸近線に切られた線分を、いつも二等分する

三角形

接線と 2 本の漸近線が囲む面積は $ab$ で動かない

反比例のグラフで見ると

$y = \frac{k}{x}$ は $x y = k$ なので、直角双曲線です。座標軸が漸近線にあたる。

接線が座標軸から切りとる三角形の面積は $2 k$ 。 $k$ を大きくすると曲線が原点から遠ざかり、三角形も大きくなります。

$a = b = 2 k$ なので $ab = 2 k$ 。一般の式にきちんと当てはまっています^[4]。

$\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$ の接線と 2 本の漸近線が囲む三角形の面積はどれですか。

$3$
$6$
$12$

__RESULT__

$a = 2$ 、 $b = 3$ なので $ab = 6$ です。接点をどこにとっても同じ値になります。

中点の性質も確かめます。

双曲線の接線が漸近線と交わる 2 点を $Q$ 、 $R$ とします。接点 $P$ について正しいのはどれですか。

$PQ = PR$ がいつも成り立つ
$PQ = PR$ になるのは頂点のときだけ
$PQ$ と $PR$ の比は接点で変わる

__RESULT__

接点は線分 $QR$ の中点なので、どこで接しても 2 つの距離は等しくなります。

漸近線を軸だと思って $x y = k$ に読みかえる。それだけで、中点の性質も面積の一定も、計算せずに見通せます。

参考文献

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Hyperbola. Wolfram MathWorld.

The Hyperbola. Precalculus 2e, OpenStax.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

双曲線の接線は 2 本の漸近線に切りとられ、その線分の中点がいつも接点になります。接線と漸近線が囲む三角形の面積も $ab$ で一定。漸近線を座標軸だと思えば式は $xy = k$ になり、切片が接点の座標のちょうど 2 倍だと見えてきます。原点から 2 交点までの距離の積が $a^2 + b^2$ になるアポロニウスの性質、反比例のグラフで三角形の面積が $2k$ になる話も。定規だけで接線を引く手順にもつながります。