円と放物線の両方に接する直線を探す、共通接線の作り方

円 $(x + 3)^{2} + y^{2} = 2$ と放物線 $y^{2} = 4 x$ の両方に接する直線は 4 本あります。そのうち 2 本は $y = x + 1$ と $y = - x - 1$ 。

2 つの曲線に同時に接する直線を共通接線といいます。片方の接線を傾きで書き、もう片方に接する条件を課す。これが基本の手です^[1]。

接線を傾きで書く

曲線ごとに、接線を傾き $m$ で表す形が決まっています。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ なら $y = m x + \frac{p}{m}$ 。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ なら $y = m x \pm a^{2} m^{2} + b^{2}$ ^[2]。

円の場合は、中心から直線までの距離が半径に等しい、という条件で書きます。この形がいちばん扱いやすい。

だから円が絡む問題では、円でないほうの接線を先に書き、距離の条件を後から課すと計算が短くなります。

円と円で試す

まず 2 つの円で確かめます。 $x^{2} + y^{2} = 1$ と $(x - 5)^{2} + y^{2} = 4$ 。

接線を $y = m x + k$ とすると、原点からの距離が $1$ で $k^{2} = 1 + m^{2}$ 。中心 $(5, 0)$ からの距離が $2$ で $(5 m + k)^{2} = 4 (1 + m^{2})$ 。

第 1 式を第 2 式に入れると $(5 m + k)^{2} = 4 k^{2}$ 、つまり $5 m + k = \pm 2 k$ 。

$k = 5 m$ のとき $m^{2} = \frac{1}{24}$ 、 $k = - \frac{5 m}{3}$ のとき $m^{2} = \frac{9}{16}$ 。あわせて 4 本です。

後者の 1 本は $3 x - 4 y - 5 = 0$ 。原点からの距離が $\frac{5}{5} = 1$ 、 $(5, 0)$ からは $\frac{10}{5} = 2$ で、条件を満たしています。

円と円なら、両方とも距離の条件で書けるので式がそろいます。

片方が放物線や楕円になると、接する条件の形が変わる。書き方をそろえるのが最初の仕事です。

半径 $1$ と $4$ なら、和が $5$ 、差が $3$ 。中心の距離がこの 2 つをまたぐたびに、本数が変わる。

中心の距離	位置関係	共通接線
$5$ より大	離れている	4 本
$5$	外接	3 本
$3$ と $5$ のあいだ	2 点で交わる	2 本
$3$	内接	1 本
$3$ より小	一方が他方を含む	0 本

円と放物線

$y^{2} = 4 x$ の接線は $y = m x + \frac{1}{m}$ 、整理して $m x - y + \frac{1}{m} = 0$ です。

円の中心 $(- 3, 0)$ からの距離が半径 $2$ になる条件を書く。

$\frac{- 3 m + \frac{1}{m}}{m ^{2} + 1} = 2$

両辺を 2 乗し、 $m^{2}$ を掛けて整理すると $m$ の 4 次式になります。 $v = m^{2}$ と置くと 2 次式です。

$7 v^{2} - 8 v + 1 = 0$

$v = 1$ と $v = \frac{1}{7}$ 。 $m = \pm 1$ と $m = \pm \frac{1}{7}$ の 4 本が出ました。

出た直線を確かめる

$m = 1$ なら $k = \frac{1}{m} = 1$ で、直線は $y = x + 1$ 。

放物線に代入すると $(x + 1)^{2} = 4 x$ 、つまり $(x - 1)^{2} = 0$ で重解。接点は $(1, 2)$ です。

円の中心 $(- 3, 0)$ から $x - y + 1 = 0$ までの距離は $\frac{∣ - 3 + 1∣}{2} = 2$ 。半径と一致しました。

$m = \frac{1}{7}$ のほうは $x - 7 y + 7 = 0$ 。距離は $\frac{4}{2 2} = 2$ で、こちらも条件を満たします。

例：放物線どうし

$y = x^{2}$ と $y = - x^{2} - 4$ の共通接線を求めます。上に開く放物線と、下に開く放物線。

$y = x^{2}$ の接点を $(a, a^{2})$ とすると、接線は $y = 2 a x - a^{2}$ 。

$y = - x^{2} - 4$ の接点を $(b, - b^{2} - 4)$ とすると、接線は $y = - 2 b x + b^{2} - 4$ 。

2 本が一致する条件は、傾きと切片がそれぞれ等しいこと。 $2 a = - 2 b$ から $b = - a$ 、 $- a^{2} = b^{2} - 4$ から $a^{2} = 2$ です。

$a = \pm 2$ なので、共通接線は $y = 22 x - 2$ と $y = - 22 x - 2$ の 2 本。

放物線どうしでは、接線をどちらも傾きと接点で書けるので、連立が軽くなります。

縦の直線を忘れない

$y = m x + k$ の形では、 $x$ 軸に垂直な直線が書けません。別に調べる必要がある。

放物線 $y^{2} = 4 x$ に接する縦の直線は $x = 0$ 、頂点での接線です。円の中心からの距離は $3$ で、半径 $2$ と違う。

だから今回は共通接線になりません。もし円が $x = 0$ に接する位置にあれば、5 本目として数えることになります^[3]。

円と楕円で接する例

$x^{2} + y^{2} = 4$ と $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ をとります。

楕円の短軸の端 $(0, \pm 2)$ は、円の上にもあります。この点で 2 つの曲線が接している。

そこでの接線は $y = 2$ と $y = - 2$ 。どちらも共通接線で、合計 2 本。

円が楕円の内側で接するので、外側から挟む接線は引けません。位置関係で本数が決まるところは、円どうしと同じ。

接点を 2 つ置く解き方

別解として、接点を先に置く方法もあります。放物線の接点を $(t^{2}, 2 t)$ 、円の接点を角度で表し、接線が一致する条件を立てる。

未知数が 2 つに増えるので、連立が重くなります。傾き 1 つで済む方法のほうが速い。

ただし接点そのものを問われている問題では、こちらが素直です。何を求めるかで選び分ける。

傾きで解く

未知数は $m$ の 1 つ。本数を数えるのに向く

接点で解く

未知数は 2 つ。接点を答える問題に向く

つまずきやすいところ

$m$ の 4 次式を $v = m^{2}$ で 2 次に落としたあと、 $v$ が負の解を捨て忘れると、実在しない接線が出ます。

$v = 0$ 、つまり $m = 0$ も要注意。放物線の接線の式 $y = m x + \frac{1}{m}$ は $m = 0$ で使えません。水平な直線は接線になりません^[4]。

円の距離の条件は 2 乗すると符号が消えます。求めた直線を、必ずもとの式に戻して確かめる。

$x^{2} + y^{2} = 1$ と $(x - 4)^{2} + y^{2} = 1$ の共通接線は何本ですか。

2 本
3 本
4 本

__RESULT__

半径の和が $2$ 、差が $0$ 。中心の距離 $4$ は和より大きいので、2 円は離れています。外側 2 本と内側 2 本で 4 本です。

放物線との組み合わせも確かめます。

放物線 $y^{2} = 4 x$ の接線を $y = m x + \frac{1}{m}$ と書いたとき、 $m$ について正しいのはどれですか。

$m = 0$ の場合は別に調べる
$m$ は正の値しかとれない
$m$ が決まると接線が 2 本できる

__RESULT__

$m = 0$ を入れると $\frac{1}{m}$ が定義できません。水平な直線は $y^{2} = 4 x$ に接しないので、この形から外れます。

接線の書き方を曲線ごとにそろえ、あとは条件を 1 つ課す。共通接線の問題は、この 2 段で片づきます。

参考文献

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

Ellipse. Wolfram MathWorld.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

円 $(x+3)^2+y^2=2$ と放物線 $y^2 = 4x$ の共通接線は 4 本で、うち 2 本が $y = \pm(x+1)$。放物線の接線を $y = mx + p/m$ と書き、中心からの距離が半径に等しいと課すだけで $m$ が決まります。$v = m^2$ と置けば $2$ 次方程式。$2$ 円なら中心の距離が半径の和と差をまたぐたびに 4 本から 0 本まで変わり、放物線どうしなら接点を 2 つ置いて連立します。縦の直線を別に調べる理由も。