媒介変数の t は何の角か（楕円の離心角と補助円）

楕円 $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ は $(5 cos t, 5 \times 0.6 sin t)$ 、つまり $(5 cos t, 3 sin t)$ と書けます。

この $t$ は、原点とその点を結んだ線の角度ではありません。半径 $5$ の円の上で測った角。離心角と呼ばれます^[1]。

補助円をかぶせる

楕円の長半径と同じ半径 $a$ の円を、中心をそろえて描きます。この円が補助円^[1]。

楕円上の点 $P$ から $x$ 軸に垂線を下ろし、その垂線を上へ延ばして補助円と交わる点を $Q$ とします。

$Q$ の座標は $(a cos t, a sin t)$ 。 $P$ は $(a cos t, b sin t)$ なので、 $x$ 座標が同じです。

$Q$ の偏角がちょうど $t$ 。楕円は補助円を縦に $\frac{b}{a}$ 倍したものなので、この対応がそのまま媒介変数になります^[2]。

実際の偏角とはずれる

$P$ の偏角を $ϕ$ とすると、 $tan ϕ = \frac{b sin t}{a cos t} = \frac{b}{a} tan t$ 。

$a = 5$ 、 $b = 3$ で $t = 4 5^{\circ}$ なら $tan ϕ = 0.6$ で $ϕ \approx 3 1^{\circ}$ 。 $14$ 度もずれています。

$t = 0^{\circ}$ と $t = 9 0^{\circ}$ では一致する。軸の上では $P$ と $Q$ が重なるためです。

離心角 $t$	$P$ の座標	偏角 $ϕ$
$0^{\circ}$	$(5, 0)$	$0^{\circ}$
$3 0^{\circ}$	$(4.33, 1.5)$	$19. 1^{\circ}$
$4 5^{\circ}$	$(3.54, 2.12)$	$31. 0^{\circ}$
$6 0^{\circ}$	$(2.5, 2.60)$	$46. 1^{\circ}$
$9 0^{\circ}$	$(0, 3)$	$9 0^{\circ}$

$t$ が実際の偏角とずれるのは、縦だけを $\frac{b}{a}$ 倍しているからです。

横は動かさず縦だけ縮めるので、角度は保たれません。 $t$ は縮める前の角度にあたります。

差がいちばん大きくなるのは $4 5^{\circ}$ のあたり。そこから両側へ向かうにつれて縮まります。

小さいほうの円も使う

半径 $b$ の円を描くと、こちらは $y$ 座標を与えてくれます。

大きい円の上の点 $(a cos t, a sin t)$ から $x$ 座標を、小さい円の上の点 $(b cos t, b sin t)$ から $y$ 座標をとる。

組み合わせた $(a cos t, b sin t)$ が楕円上の点です。円 2 つと定規だけで、楕円の点が次々に打てる。

例：作図の手順

$a = 5$ 、 $b = 3$ とします。原点から $6 0^{\circ}$ の向きに半直線を引く。

大きい円との交点から真下に線を下ろし、小さい円との交点から真横に線を引きます。

2 本の交わったところが楕円上の点。 $(5 cos 6 0^{\circ}, 3 sin 6 0^{\circ}) = (2.5, 2.60)$ です。

角度を $1 0^{\circ}$ ずつ変えて繰り返せば、 $36$ 個の点が打てます。なめらかにつなげば楕円になる。

だ円コンパスの仕組み

長さ $a + b$ の棒を用意し、その上に点 $P$ をとります。 $P$ から一方の端までが $a$ 、もう一方の端までが $b$ 。

$a$ だけ離れた端を $y$ 軸の上に、 $b$ だけ離れた端を $x$ 軸の上に置き、両端を軸に沿って滑らせる。

棒が $x$ 軸となす角を $t$ とすると、 $y$ 軸側の端は $(0, (a + b) sin t)$ 、 $x$ 軸側の端は $((a + b) cos t, 0)$ です。

$P$ は $y$ 軸側の端から $a$ だけ進んだ点。内分の計算をすると $(a cos t, b sin t)$ になります。

棒の傾きが、そのまま離心角。だ円コンパスは、離心角を手で回す道具です。

扇形の面積とのつながり

補助円で、中心から角 $t$ ぶんの扇形をとります。面積は $\frac{a ^{2}}{2} t$ 。

縦に $\frac{b}{a}$ 倍すると、面積も $\frac{b}{a}$ 倍になります。楕円の側の扇形の面積は $\frac{ab}{2} t$ 。

離心角は、中心から見た扇形の面積に比例している。角度としてはずれていても、面積としてはきれいに対応します。

$t = 2 π$ なら $\frac{ab}{2} \times 2 π = π ab$ 。楕円全体の面積に戻りました。

双曲線には補助円がない

双曲線の媒介変数表示は $(\frac{a}{cos t}, b tan t)$ とも書けます^[3]。この $t$ にも補助円のような読み方があります。

半径 $a$ の円を描き、その円に接する直線を引く。接点から中心を通る直線と、 $x = a$ の縦線との交点をとる形です。

ただし楕円ほど素直ではない。双曲線関数を使う書き方のほうがよく使われます。

離心角

t

補助円の上で測った角。扇形の面積に比例する

偏角

ϕ

原点と点を結んだ線の角。 $tan ϕ = \frac{b}{a} tan t$ でずれる

つまずきやすいところ

$t$ を偏角だと思って $cos t = \frac{x}{OP}$ としてしまう誤りが、いちばん多いところ。 $cos t = \frac{x}{a}$ が正しい形です。

面積を $\frac{1}{2} r^{2} θ$ で出すのも危ないところ。楕円の扇形にこの式は使えません^[4]。

焦点から測る角と混ざることもある。極方程式の $θ$ は焦点から見た角で、離心角とは別のものです。

$\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ で離心角が $6 0^{\circ}$ の点はどれですか。

$(2, 3)$
$(23, 1)$
$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

__RESULT__

$(4 cos 6 0^{\circ}, 2 sin 6 0^{\circ}) = (2, 3)$ です。 $cos$ と $sin$ を入れかえると $(23, 1)$ になってしまいます。

補助円の役割も確かめます。

楕円上の点 $P$ と、補助円上の対応する点 $Q$ について正しいのはどれですか。

$x$ 座標が等しい
$y$ 座標が等しい
原点からの距離が等しい

__RESULT__

$P (a cos t, b sin t)$ と $Q (a cos t, a sin t)$ なので、 $x$ 座標が共通です。縦の線で結ばれた 2 点になります。

$t$ は角度でありながら、楕円の上では角度として見えない。円までさかのぼると正体が分かります。

参考文献

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

Ellipse. Wolfram MathWorld.

Hyperbola. Wolfram MathWorld.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

$(5\cos t,\ 3\sin t)$ の $t$ は、原点と点を結んだ線の角ではありません。半径 $a$ の補助円の上で測った角で、離心角と呼ばれます。楕円上の点と補助円上の点は $x$ 座標が同じ。$a = 5$、$b = 3$ で $t = 45^\circ$ なら実際の偏角は $31^\circ$ で、$14$ 度もずれます。半径 $a$ と $b$ の 2 円で点を打つ作図、棒の両端を軸に滑らせるだ円コンパス、扇形の面積が $abt/2$ になる話まで。