2 つの交点を通る曲線をまとめて書く - 二次曲線の束

2 つの曲線 $f (x, y) = 0$ と $g (x, y) = 0$ が交わっているとします。このとき $f + k g = 0$ は、 $k$ が何であっても交点を通る。

交点では $f$ も $g$ も $0$ なので、足しても $0$ のままだからです。この $k$ でつながった曲線の集まりを束と呼ぶ。

交点を求めずに扱える

交点の座標を知る必要はありません。 $f$ と $g$ の式さえあれば、通ることが式の形から保証されます。

条件を 1 つ足せば $k$ が決まり、曲線が 1 本に定まる。連立方程式を解く手間が消えます。

2 つの円で見る

円 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ と、円 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ をとります。

差をとると $2$ 次の項が消える。 $6 x - 9 = 0$ で $x = \frac{3}{2}$ 。

これが 2 交点を通る直線、根軸です。交点は $(\frac{3}{2}, \pm \frac{7}{2})$ 。

例：交点と原点を通る円

同じ 2 円の交点を通り、さらに原点を通る円を求めます。束の式に $(0, 0)$ を代入する。

$(0 + 0 - 4) + k (0 + 0 - 0 + 5) = 0$

$k = \frac{4}{5}$ です。代入して整理すると $x^{2} + y^{2} = \frac{8}{3} x$ 。

交点 $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ を入れます。左辺は $\frac{9}{4} + \frac{7}{4} = 4$ 。

右辺も $\frac{8}{3} \times \frac{3}{2} = 4$ で、たしかに通っている。

交点の座標を出さずに答えが決まるのは、通る条件が式の形に組みこまれているからです。

残った自由度は $k$ の 1 つだけ。条件を 1 つ足せば、それで曲線が決まります。

二次曲線どうしの束

$f$ と $g$ がどちらも $2$ 次式なら、 $f + k g$ も $2$ 次式です。交点は最大で 4 つ。

楕円 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} - 1 = 0$ と、円 $x^{2} + y^{2} - 5 = 0$ で試します。

連立すると $x^{2} = \frac{9}{5}$ 、 $y^{2} = \frac{16}{5}$ 。交点は $(\pm \frac{3}{5}, \pm \frac{4}{5})$ の 4 つです。

束の式は次の形になります。

$(\frac{1}{9} + k) x^{2} + (\frac{1}{4} + k) y^{2} - (1 + 5 k) = 0$

$x^{2}$ と $y^{2}$ の係数がどちらも $k$ でずれていく。この 2 つの符号で、曲線の種類が決まります^[2]。

種類が切りかわる $k$

$x^{2}$ の係数が $0$ になるのは $k = - \frac{1}{9}$ 。このとき式は $y$ だけの $2$ 次式になります。

$(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) y^{2} = 1 - \frac{5}{9}$

$y^{2} = \frac{16}{5}$ で $y = \pm \frac{4}{5}$ 。横に伸びる 2 本の直線です。4 交点をきちんと通っている。

$y^{2}$ の係数が消えるのは $k = - \frac{1}{4}$ 。同じ計算で $x = \pm \frac{3}{5}$ という縦の 2 直線が出ます。

3 組めの 2 直線

定数項が消える $k$ もあります。 $1 + 5 k = 0$ から $k = - \frac{1}{5}$ 。

$- \frac{4}{45} x^{2} + \frac{1}{20} y^{2} = 0$

$45$ を掛けて整理すると $16 x^{2} - 9 y^{2} = 0$ 、つまり $y = \pm \frac{4}{3} x$ 。原点で交わる 2 直線です。

4 交点を 2 点ずつの組に分ける分け方は 3 通り。その 3 通りが、いま出てきた 3 組の直線にあたります。

$k$ の範囲で種類が決まる

$(\frac{1}{9} + k)$ と $(\frac{1}{4} + k)$ の符号が同じなら楕円、違えば双曲線です^[1]。

$k > - \frac{1}{9}$ ならどちらも正。 $k < - \frac{1}{4}$ ならどちらも負で、こちらも楕円になります。

そのあいだの $- \frac{1}{4} < k < - \frac{1}{9}$ では符号が食い違い、双曲線が出る。境目の 2 か所が、さきほどの 2 直線です。

$k$ の範囲	出てくる曲線
$k > - 1/9$	楕円
$k = - 1/9$	横向きの 2 直線
$- 1/4 < k < - 1/9$	双曲線
$k = - 1/4$	縦向きの 2 直線
$k < - 1/4$	楕円

$g$ 自身は束に入らない

$f + k g = 0$ という書き方では、 $g = 0$ そのものを表せません。 $k$ をどれだけ大きくしても届かない。

$λ f + μg = 0$ と 2 つの係数で書けば、 $λ = 0$ で $g = 0$ が出ます。答案では「 $g$ を除く」と断るか、この形にします。

$k$ を無限に飛ばした極限が $g$ 、と考えるとつながりが見えます^[3]。

使いどころ

交点を通る条件が並ぶ問題で効きます。座標が汚い交点でも、束なら整数のまま扱える。

2 円の根軸も、束の特別な場合。 $2$ 次の項が消えるように $k = - 1$ を選んだ形です。

放物線と直線の組み合わせでも同じ。 $f$ が二次式、 $g$ が一次式なら、 $f + k g$ は二次式のままです^[4]。

交点を解いてから作る

座標が無理数だと式が重くなる

束で作る

交点を出さずに済む。条件 1 つで $k$ が決まる

つまずきやすいところ

$f + k g$ の $f$ と $g$ は、右辺を $0$ に寄せた形で使います。 $x^{2} + y^{2} = 4$ のままでは足せません。

条件を代入して $k$ が求まらないときは、その曲線が $g = 0$ である可能性を疑う。束から外れている場合です。

種類の判定は $x^{2}$ と $y^{2}$ の係数だけでは足りません。 $x y$ の項がある一般の束では、判別式まで見ます^[2]。

円 $x^{2} + y^{2} - 9 = 0$ と円 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ の 2 交点を通る直線はどれですか。

$x = - 1$
$x = 1$
$y = 0$

__RESULT__

差をとると $4 x + 4 = 0$ で $x = - 1$ です。 $2$ 次の項が消えるのは、 $k = - 1$ を選んだときになります。

束の中身も確かめます。

$f + k g = 0$ の形について、正しいのはどれですか。

$k$ の値によらず $f = g = 0$ の交点を通る
$k$ を選べば $g = 0$ そのものが作れる
交点がないときは式が書けない

__RESULT__

交点では $f$ も $g$ も $0$ なので、どんな $k$ でも成り立ちます。 $g = 0$ は $λ f + μg = 0$ と書かないと出せません。

交点を通ることを、解かずに式の形で背負わせる。束はそのための道具です。

出典

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Rotation of Axes/12%3A_Analytic_Geometry/12.04%3A_Rotation_of_Axes). Algebra and Trigonometry, OpenStax.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

$f = 0$ と $g = 0$ が交わるとき、$f + kg = 0$ は $k$ が何であっても交点を通ります。交点では両方が $0$ になるためです。座標を求めずに条件を課せるので、$2$ 円の根軸も原点を通る円も $k$ ひとつで決まる。楕円と円の $4$ 交点で作った束には、楕円と双曲線に加えて $2$ 直線の組が $3$ つ入ります。$4$ 点を $2$ 組に分ける分け方がちょうど $3$ 通りだからです。