「半直弦」が決める焦点を通る弦の長さと逆数の和

放物線 $y^{2} = 4 x$ の焦点を通る弦を引き、焦点から両端までの距離を $r_{1}$ 、 $r_{2}$ とします。すると $\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}} = 1$ になる。

弦をどの向きに回しても、この和は変わりません。逆数で足すと角度が消える、という形の関係です。

極方程式に戻ると見える

焦点を原点にとった二次曲線の極方程式は、次の形でした^[2,4]。

$r = \frac{ℓ}{1 + e cos θ}$

$e$ が離心率、 $ℓ$ は $θ = 9 0^{\circ}$ のときの $r$ にあたる長さです。

焦点を通る弦の両端は、焦点から見て正反対の向きにあります。角度でいえば $θ$ と $θ + 18 0^{\circ}$ 。

$r_{1} = \frac{ℓ}{1 + e cos θ}, r_{2} = \frac{ℓ}{1 - e cos θ}$

逆数にして足すと、 $e cos θ$ の項が打ち消し合います。

$\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}} = \frac{( 1 + e cos θ ) + ( 1 - e cos θ )}{ℓ} = \frac{2}{ℓ}$

$θ$ が消えました。弦の向きによらず一定になる理由が、この 2 行に収まっています。

半直弦という長さ

$θ = 9 0^{\circ}$ のとき $cos θ = 0$ なので $r = ℓ$ 。焦点から軸に垂直な向きに測った距離です。

焦点を通り軸に垂直な弦を通径といい、その半分が $ℓ$ 。半直弦と呼ばれます^[1]。

楕円で値を出してみます。 $x = c$ を $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ に代入する。

$\frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 - \frac{c ^{2}}{a ^{2}} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$

$y = \frac{b ^{2}}{a}$ が出ました。通径は $\frac{2 b ^{2}}{a}$ です^[3]。

曲線	半直弦 $ℓ$	通径
放物線 $y^{2} = 4 p x$	$2 p$	$4 p$
楕円	$b^{2} / a$	$2 b^{2} / a$
双曲線	$b^{2} / a$	$2 b^{2} / a$

双曲線でも計算は同じ形。 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ を使うので途中の符号だけが変わります。

半直弦は 2 つの距離の調和平均

$\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}} = \frac{2}{ℓ}$ を $ℓ$ について解きます。

$ℓ = \frac{2 r _{1} r _{2}}{r _{1} + r _{2}}$

これは $r_{1}$ と $r_{2}$ の調和平均の形。半直弦は、焦点弦が切られた 2 つの部分の調和平均になっています。

平均なので、 $ℓ$ は $r_{1}$ と $r_{2}$ のあいだの値。片方が短くなれば、もう片方が必ず長くなります。

例：放物線の焦点弦

$y^{2} = 4 x$ では $p = 1$ 、 $ℓ = 2$ 、通径は $4$ です。焦点は $(1, 0)$ 、準線は $x = - 1$ 。

焦点までの距離は、準線までの距離と等しい。曲線上の点 $(x, y)$ について $r = x + 1$ になります。

傾き $1$ の焦点弦 $y = x - 1$ を代入すると $(x - 1)^{2} = 4 x$ 、つまり $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 。

解と係数の関係から $x_{1} + x_{2} = 6$ 、 $x_{1} x_{2} = 1$ 。距離に直すと $r_{1} + r_{2} = 8$ 、 $r_{1} r_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 = 8$ です。

$\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}} = \frac{r _{1} + r _{2}}{r _{1} r _{2}} = \frac{8}{8} = 1 = \frac{2}{ℓ}$

弦の長さは $8$ 。 $x$ の値を求めずに、和と積だけで答えが出ました。

例：垂直な焦点弦

同じ放物線で $x = 1$ の縦の弦をとります。 $y^{2} = 4$ で $y = \pm 2$ 、長さは $4$ 。

$r_{1} = r_{2} = 2$ なので、逆数の和は $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。さきほどと同じ値です。

これが通径。 $4$ という長さは $4 p$ と一致しています。

例：楕円の焦点弦

$\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ では $a = 3$ 、 $b = 2$ 、 $c = 5$ 。半直弦は $\frac{4}{3}$ で、 $\frac{2}{ℓ} = \frac{3}{2}$ です。

長軸そのものを焦点弦と見ると、 $r_{1} = a + c = 3 + 5$ 、 $r_{2} = a - c = 3 - 5$ 。

$\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}} = \frac{6}{9 - 5} = \frac{3}{2}$

一致しました。長軸という特別な弦でも、式はそのまま通ります。

いちばん短い焦点弦

$r_{1} + r_{2}$ を計算すると、次の形になります。

$r_{1} + r_{2} = \frac{2 ℓ}{1 - e ^{2} cos ^{2} θ}$

楕円では $e < 1$ なので、分母が最大になるのは $cos θ = 0$ のとき。そこで弦は最短になります。

つまり通径が、いちばん短い焦点弦です。最長は $cos^{2} θ = 1$ のときで、値は $\frac{2 ℓ}{1 - e ^{2}} = 2 a$ 。長軸そのもの。

いちばん短い焦点弦

軸に垂直な通径。長さは $\frac{2 b ^{2}}{a}$

いちばん長い焦点弦

軸に沿った長軸。長さは $2 a$

放物線では $e = 1$ なので分母は $sin^{2} θ$ になり、やはり通径が最短。上限のほうはありません。

放物線の焦点弦にはもう 1 つ性質がある

$y^{2} = 4 p x$ の点を $(p t^{2}, 2 pt)$ と媒介変数で書きます。2 点を結ぶ弦が焦点を通る条件は $t_{1} t_{2} = - 1$ 。

このとき $y_{1} y_{2} = 4 p^{2} t_{1} t_{2} = - 4 p^{2}$ 、 $x_{1} x_{2} = p^{2} t_{1}^{2} t_{2}^{2} = p^{2}$ 。どちらも定数になります。

両端での接線の傾きは $\frac{1}{t _{1}}$ と $\frac{1}{t _{2}}$ で、積は $\frac{1}{t _{1} t _{2}} = - 1$ 。焦点弦の両端の接線は直交します。

双曲線では符号に気をつける

双曲線の焦点弦には 2 種類あります。同じ枝を 2 度切る弦と、2 つの枝にまたがる弦。

同じ枝を切る場合は楕円と同じ式が通ります。またぐ場合、極方程式の $r$ が負になる向きが現れる。

このとき素直に足すのではなく、差の形で見ることになります。図を描いて、どちらの弦かを先に決めると確実。

$\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ の通径の長さはどれですか。

$\frac{16}{5}$
$\frac{32}{5}$
$10$

__RESULT__

半直弦は $\frac{b ^{2}}{a} = \frac{16}{5}$ なので、通径はその 2 倍で $\frac{32}{5}$ です。 $10$ は長軸の長さにあたります。

逆数の和も確かめます。

放物線 $y^{2} = 8 x$ の焦点を通る弦で、焦点から一方の端までが $3$ でした。もう一方の端までの距離はどれですか。

__RESULT__

$4 p = 8$ から $p = 2$ 、半直弦は $ℓ = 4$ です。 $\frac{1}{3} + \frac{1}{r _{2}} = \frac{2}{4}$ を解くと $r_{2} = 6$ になります。

弦の長さそのものは角度で変わる。逆数にして足すと変わらない。焦点弦の問題は、この形に持ちこむと計算が短くなります。

参考

Latus Rectum. Wolfram MathWorld.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Ellipse. Wolfram MathWorld.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

$y^2 = 4x$ の焦点を通る弦は、両端までの距離 $r_1$、$r_2$ について $1/r_1 + 1/r_2 = 1$。弦をどう回しても動きません。極方程式 $r = \ell/(1 + e\cos\theta)$ に $\theta$ と $\theta + 180^\circ$ を入れて足すと、$e\cos\theta$ が打ち消し合うためです。半直弦 $\ell$ は $r_1$ と $r_2$ の調和平均で、楕円と双曲線なら $b^2/a$。通径がいちばん短い焦点弦になる理由、放物線で $t_1t_2 = -1$ から出る性質まで。