円に戻すと見える楕円の面積と最大・最小の問題

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に内接する長方形で、面積が最大になるのは $2ab$ です。接線と座標軸が作る三角形の最小面積は $ab$。

どちらも $ab$ という同じ形をしています。楕円を円に戻して考えると、その理由が見えてくる。

楕円は円を縦に縮めた形

円 $x^2+y^2=a^2$ の各点を、$y$ 座標だけ $\frac{b}{a}$ 倍します。$(x,y)$ が $\left(x,\frac{b}{a}y\right)$ へ移る変換です。

移った先は $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。円が楕円になりました^[1]。

この変換は 1 次変換なので、直線は直線に、線分の中点は中点に写ります。接することも保たれる。円の接線は、楕円の接線に写ります^[1]。

そして面積は、どの図形でも一律に $\frac{b}{a}$ 倍になります。ここが最大最小の問題で効いてくる。

変換で保たれないもの

長さと角度は保たれません。縦だけ縮めるので、斜めの線分は縮み方が向きによって違う。

だから「長さの最大」や「直角になる位置」を円で考えて写す、という使い方はできません。使えるのは面積と、面積どうしの比だけです。

楕円の面積

円の面積 $\pi a^2$ に $\frac{b}{a}$ を掛けると $\pi ab$。積分を使わずに出せます^[3]。

$a=b=r$ なら $\pi r^2$ で円に戻る。式の形も自然です。

例：内接する長方形の面積の最大

円 $x^2+y^2=a^2$ に内接する長方形で、面積が最大になるのは正方形。対角線が直径 $2a$ なので、面積は $2a^2$ です^[4]。

これを $\frac{b}{a}$ 倍して、楕円に内接する長方形の最大面積は $2ab$ になります。

媒介変数でも確かめられます。第 1 象限の頂点を $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ とすると、長方形は縦横がその 2 倍。

$$S=4ab\cos \theta \sin \theta =2ab\sin 2\theta$$

$\sin 2\theta$ の最大が $1$ なので $S\le 2ab$。等号は $\theta =45^{\circ }$、つまり頂点が $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ のときです。

円では正方形だった図形が、楕円では正方形になりません。長さは保たれないので、当然の結果になる。

例：内接する三角形の面積の最大

円に内接する三角形でいちばん大きいのは正三角形。1 辺が $\sqrt{3}a$ で、面積は $\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^2$ です。

楕円に写すと $\frac{3\sqrt{3}}{4}ab$。この値が、楕円に内接する三角形の面積の最大になります^[1]。

写った先の三角形は正三角形ではありません。それでも面積は最大のまま。順位が変わらないという性質だけを使っています。

接線と座標軸が作る三角形

楕円上の点 $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ における接線は、次の形に書けます^[1]。

$$\frac{x\cos \theta }{a}+\frac{y\sin \theta }{b}=1$$

$y=0$ とすると $x=\frac{a}{\cos \theta }$、$x=0$ とすると $y=\frac{b}{\sin \theta }$。この 2 点と原点で三角形ができます。

$$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{\cos \theta }\cdot \frac{b}{\sin \theta }=\frac{ab}{\sin 2\theta }$$

$\sin 2\theta \le 1$ なので $S\ge ab$。最小値は $ab$ で、やはり $\theta =45^{\circ }$ のときです。

内接長方形は最大が $2ab$、この三角形は最小が $ab$。どちらも同じ $\theta =45^{\circ }$ で起こる。

接線が切りとられる長さの最小

同じ接線で、今度は 2 つの切片を結ぶ線分の長さを見ます。三平方の定理から次のようになります。

$$L^2=\frac{a^2}{{\cos }^2\theta }+\frac{b^2}{{\sin }^2\theta }$$

$t={\cos }^2\theta$ と置くと $L^2=\frac{a^2}{t}+\frac{b^2}{1-t}$。コーシー・シュワルツの不等式を当てます。

$$\left(\frac{a^2}{t}+\frac{b^2}{1-t}\right)(t+(1-t))\ge (a+b{)}^2$$

左の第 2 因子は $1$ なので $L^2\ge (a+b{)}^2$、つまり $L\ge a+b$ です。

最小値は $a+b$。等号は $\frac{a}{t}=\frac{b}{1-t}$、すなわち $t=\frac{a}{a+b}$ のときに成り立ちます。

面積のほうは $45^{\circ }$ で最小でしたが、長さは違う角度で最小になる。長さが変換で保たれない、という話とつながっています。

例：楕円と直線の距離

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$ 上の点と、直線 $x+y=6$ との距離を考えます。

直線に平行な接線を探すと早い。傾き $m$ の接線は $y=mx\pm \sqrt{a^2{m}^2+b^2}$ と書けます^[1]。

$m=-1$、$a^2=8$、$b^2=2$ を入れると $\sqrt{8+2}=\sqrt{10}$。接線は $x+y=\sqrt{10}$ と $x+y=-\sqrt{10}$ です。

$$\frac{|-\sqrt{10}-6|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}+\sqrt{5},\frac{|\sqrt{10}-6|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-\sqrt{5}$$

最大が $3\sqrt{2}+\sqrt{5}$、最小が $3\sqrt{2}-\sqrt{5}$。接点が最大と最小を与える点になります。

例：$x+y$ の最大

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の上で $x+y$ が最大になる値を求めます。

$(3\cos \theta ,2\sin \theta )$ と置くと $x+y=3\cos \theta +2\sin \theta$。合成すると $\sqrt{13}\sin (\theta +\alpha )$ です。

最大は $\sqrt{13}$。直線 $x+y=k$ を動かして楕円に接するところを探す、という見方と同じ答えになります。

外側から囲む長方形

楕円に外接する長方形を考えます。4 辺がすべて接線で、隣り合う辺が直交している形。

軸に平行に置けば $2a\times 2b$ で面積は $4ab$。これが最小になります。

$45^{\circ }$ 傾けたときが最大で、面積は $2(a^2+b^2)$。相加相乗の関係から $2(a^2+b^2)\ge 4ab$ となり、順序が合います。

4 つの頂点は、直交する 2 本の接線の交点です。この点は中心から $\sqrt{a^2+b^2}$ の距離にある円の上に並びます^[2]。

対角線の長さが $2\sqrt{a^2+b^2}$ で固定される、ということ。長方形の面積は対角線が直交するときに最大なので、$2(a^2+b^2)$ が上限になります。

まちがえやすい点

円に戻す変換で解けるのは面積の問題だけです。長さや角度をそのまま持ち帰ると答えが合わない。

内接長方形を「正方形が最大」と思いこむのもよくある誤り。楕円では $\theta =45^{\circ }$ ですが、辺の長さは $\sqrt{2}a$ と $\sqrt{2}b$ で違います。

$\sin 2\theta$ の形に持ちこむ計算では、$\theta$ の動く範囲を確かめる。第 1 象限に限るなら $0<\theta <90^{\circ }$ で、$2\theta$ は $180^{\circ }$ まで動きます。

接線の側も確かめます。

面積なら円に戻す。長さなら媒介変数か不等式に持ちこむ。道具を選び分ければ、この手の問題はほとんど同じ形に収まります。

参考文献