焦点を共有する楕円と双曲線は必ず直角に交わる

焦点が同じ楕円と双曲線を重ねて描くと、交わるところではいつも直角になります。どの組を選んでも例外はなし。

理由は反射の性質から 1 行で出ます。楕円の接線が外角の二等分線、双曲線の接線が内角の二等分線だから^[2]。

焦点をそろえた曲線の族

焦点を $(\pm c, 0)$ に固定し、 $λ$ を動かして次の式を書きます^[1]。

$\frac{x ^{2}}{λ} + \frac{y ^{2}}{λ - c ^{2}} = 1$

$λ > c^{2}$ なら分母が両方とも正で楕円。 $a^{2} = λ$ 、 $b^{2} = λ - c^{2}$ なので $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ になり、焦点は $(\pm c, 0)$ です。

$0 < λ < c^{2}$ なら 2 つめの分母が負になり、式は双曲線を表します。 $a^{2} = λ$ 、 $b^{2} = c^{2} - λ$ で $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。やはり焦点は $(\pm c, 0)$ 。

1 つのパラメータを動かすだけで、楕円の族と双曲線の族が両方出てきます。境目の $λ = c^{2}$ では曲線がつぶれる。

どの点にも 1 本ずつ通る

平面上の点 $(x_{0}, y_{0})$ を通る曲線を探します。上の式に代入して分母を払うと、 $λ$ の 2 次方程式になる。

この 2 次方程式の解は、片方が $c^{2}$ より大きく、もう片方が $0$ と $c^{2}$ のあいだに入ります^[1]。

つまり、どの点にも楕円が 1 本と双曲線が 1 本だけ通る。地図の緯線と経線のような格子ができあがります。

直交する理由

交点を $P$ 、共通の焦点を $F$ 、 $F^{'}$ とする。

楕円では $PF + PF^{'}$ が一定で、接線は $∠ FPF^{'}$ の外角を二等分します。双曲線では差が一定で、接線は内角を二等分する^[2]^[3]。

内角の二等分線と外角の二等分線は、いつも直角に交わります。角を $2 α$ とすると、片方は $α$ 、もう片方は $\frac{18 0 ^{\circ} - 2 α}{2} + α = 9 0^{\circ}$ の向き。

だから 2 本の接線は直交する。曲線が直交する、というのはこの意味です^[2]。

2 本の接線が直交するのは、内角と外角の二等分線が直角をなすという初等的な事実からです。

角度を計算する必要はありません。楕円と双曲線で「和」と「差」のどちらが一定かだけが効いています。

例：点 $(3, 2)$ を通る 2 本

$c^{2} = 5$ としてみます。 $\frac{9}{λ} + \frac{4}{λ - 5} = 1$ を解く。

分母を払うと $λ^{2} - 18 λ + 45 = 0$ で、 $λ = 15$ と $λ = 3$ が出ます。

$λ = 15$ は楕円 $\frac{x ^{2}}{15} + \frac{y ^{2}}{10} = 1$ 。代入すると $\frac{9}{15} + \frac{4}{10} = 1$ で通っています。

$λ = 3$ は双曲線 $\frac{x ^{2}}{3} - \frac{y ^{2}}{2} = 1$ 。 $\frac{9}{3} - \frac{4}{2} = 1$ でこちらも通る。

接線を出します。楕円のほうは $\frac{3 x}{15} + \frac{2 y}{10} = 1$ を整理して $x + y = 5$ 、傾きは $- 1$ 。

双曲線のほうは $\frac{3 x}{3} - \frac{2 y}{2} = 1$ で $x - y = 1$ 、傾きは $1$ 。積が $- 1$ になりました。

楕円座標という見方

点の位置を $(x, y)$ ではなく、その点を通る 2 本の $λ$ で表すこともできます。 $(λ_{1}, λ_{2})$ を座標にする。

楕円座標と呼ばれる仕組みです^[1]。曲線どうしが直交しているので、直交座標系として使えます。

$λ_{1}$ を固定すると楕円が 1 本、 $λ_{2}$ を固定すると双曲線が 1 本。緯度と経度のような対応になっています。

放物線でも同じことが起こる

焦点を原点にそろえた放物線の族を考えます。 $y^{2} = 4 p (x + p)$ とおくと、頂点が $(- p, 0)$ 、焦点が原点になる。

$p > 0$ なら右に開き、 $p < 0$ なら左に開きます。この 2 つの族から 1 本ずつとって交わらせる。

交点の $x$ 座標は $- (p_{1} + p_{2})$ 、 $y^{2} = - 4 p_{1} p_{2}$ です。 $p_{1} p_{2} < 0$ なので、右辺は正になります。

接線の傾きは $y^{'} = \frac{2 p}{y}$ 。積をとると $\frac{4 p _{1} p _{2}}{y ^{2}} = \frac{4 p _{1} p _{2}}{- 4 p _{1} p _{2}} = - 1$ 。

やはり直交しました^[1]。共通の焦点を持つ、という条件だけで直角が出てくる。

楕円と双曲線

和が一定と差が一定。接線は外角と内角の二等分線で直交

右開きと左開きの放物線

焦点を共有すると、接線の傾きの積が $- 1$ になる

つまずきやすいところ

$λ$ の範囲を確かめずに解くと、楕円と双曲線をとり違えます。 $λ > c^{2}$ か $0 < λ < c^{2}$ かで種類が決まる。

「共焦点」は焦点が一致することで、中心が一致することではありません。中心までそろっているのは、この標準形に限った話。

$λ \leq 0$ の範囲は曲線を表しません。2 次方程式の解のうち、この範囲に落ちたものは捨てます^[4]。

$\frac{x ^{2}}{λ} + \frac{y ^{2}}{λ - 9} = 1$ が双曲線になる $λ$ の範囲はどれですか。

$λ > 9$
$0 < λ < 9$
$λ < 0$

__RESULT__

$λ - 9 < 0$ かつ $λ > 0$ のとき、 $y^{2}$ の係数が負になって双曲線になります。 $λ > 9$ では楕円です。

直交の理由も確かめます。

共焦点の楕円と双曲線が直交する理由として正しいのはどれですか。

どちらも中心が原点にあるため
楕円の接線が外角、双曲線の接線が内角の二等分線になるため
離心率の積が $1$ になるため

__RESULT__

内角の二等分線と外角の二等分線は直角に交わります。中心が同じであることや離心率は、直交の理由になりません。

和が一定な曲線と差が一定な曲線。この 2 つを重ねると、平面が直角の格子で埋まります。

参考文献

Confocal conics. Encyclopedia of Mathematics.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

$x^2/\lambda + y^2/(\lambda - c^2) = 1$ の $\lambda$ を動かすと、$\lambda > c^2$ で楕円、$0 < \lambda < c^2$ で双曲線が出てきます。焦点はどれも同じ。平面のどの点にも 1 本ずつ通り、交わるところは必ず直角です。楕円の接線が外角、双曲線の接線が内角の二等分線なので、直角になるほかない。点 $(3, 2)$ で傾きが $-1$ と $1$ になる計算例、楕円座標という見方、焦点をそろえた放物線でも同じことが起こる話まで。