45 度で見ると双曲線が出る〜放物線の 2 接線の交点

放物線 $y^2=4x$ に 2 本の接線を引き、なす角を $45^{\circ }$ に保ったまま動かします。交点が描く跡は双曲線になる。

しかも $a=b$ の直角双曲線です。角を $90^{\circ }$ にすると準線という直線になり、角度を変えると図形の種類まで変わります。

接線を傾きで書く

$y^2=4px$ の接線は $y=mx+\frac{p}{m}$ の形でした^[2]。点 $(h,k)$ を通るとして代入します。

$$m^{2}h-mk+p=0$$

$m$ についての 2 次方程式。2 つの解が、$(h,k)$ から引ける 2 本の接線の傾きです。

解と係数の関係から $m_1+m_2=\frac{k}{h}$、$m_1{m}_2=\frac{p}{h}$。この 2 つを角度の条件に流しこむ。

なす角の条件

2 直線のなす角 $\varphi$ は、傾きから次のように出ます。

$$\tan \varphi =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|$$

$(m_1-m_2{)}^2=(m_1+m_2{)}^2-4m_1{m}_2=\frac{k^2}{h^2}-\frac{4p}{h}$ なので、$\varphi =45^{\circ }$ なら次の等式になります。

$$\frac{k^2}{h^2}-\frac{4p}{h}={\left(1+\frac{p}{h}\right)}^2$$

両辺に $h^2$ を掛けて $k^2-4ph=(h+p{)}^2$。展開して整理します。

$$(h+3p{)}^2-k^2=8p^2$$

$x$ と $y$ に戻すと $\frac{(x+3p{)}^2}{8p^2}-\frac{y^2}{8p^2}=1$。中心が $(-3p,0)$ で $a=b=2\sqrt{2}p$ の直角双曲線です^[3]。

例：頂点の接線を使う点

$p=1$ として、点 $(0,1)$ を調べます。$(0+3{)}^2-1=8$ なので、たしかに軌跡の上にある点。

接線の式に代入すると $-m+1=0$ で $m=1$ の 1 本しか出ません。$h=0$ なので $2$ 次の項が消えたためです。

消えたぶんは縦の直線。$x=0$ は頂点での接線なので、これがもう 1 本。

傾き $1$ の直線と縦の直線がなす角は $45^{\circ }$。条件を満たしています。

例：傾きが $\sqrt{2}\pm 1$ になる点

同じ放物線で点 $(1,2\sqrt{2})$ をとります。$(1+3{)}^2-8=8$ で、こちらも軌跡の上。

$m^2-2\sqrt{2}m+1=0$ を解くと $m=\sqrt{2}\pm 1$。$2.414$ と $0.414$ です。

積は $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1$ で、$\frac{p}{h}=1$ と合います。差は $2$。

$$\tan \varphi =\left|\frac{2}{1+1}\right|=1$$

$\varphi =45^{\circ }$。数を入れても条件がきちんと成り立ちました。

直角にすると直線になる

$\varphi =90^{\circ }$ では $\tan \varphi$ が定まらないので、$1+m_1{m}_2=0$ を直接使います。

$\frac{p}{h}=-1$ から $h=-p$。軌跡は準線という 1 本の直線です^[4]。

双曲線が直線につぶれた、と見られます。角度を $90^{\circ }$ に近づけると、中心 $(-3p,0)$ が遠ざかって曲線が平らになっていく。

どの角度でも双曲線になる

$\tan \varphi =\lambda$ と置いて、一般の角で計算します。

$$k^2-4ph={\lambda }^2(h+p{)}^2$$

$h$ と $k$ について整理すると、${\lambda }^2{h}^2-k^2+(2{\lambda }^{2}p+4p)h+{\lambda }^2{p}^2=0$。

判別式を見ます。$B^2-4AC=0-4\times {\lambda }^2\times (-1)=4{\lambda }^2>0$ なので双曲線です^[1]。

$\lambda$ がどんな正の値でも符号は変わらない。$90^{\circ }$ だけが $\lambda$ を持たず、例外として直線になります。

楕円では簡単な形にならない

同じ問題を楕円で考えると、事情が変わります。$90^{\circ }$ のときだけが準円という円になり、ほかの角度では 4 次の曲線が出る。

軌跡の式は $(h^2+k^2-a^2-b^2{)}^2{\tan }^2\varphi =4(a^2{k}^2+b^2{h}^2-a^2{b}^2)$ という形。左辺に 2 乗が入るため、次数が上がります。

$\tan \varphi$ を大きくしていくと、左辺の括弧の中が $0$ に近づく。$h^2+k^2=a^2+b^2$、つまり準円に戻ります^[4]。

つまずきやすいところ

$h=0$ のときは $2$ 次の項が消えるので、接線が 1 本しか出ません。縦の接線を別に数えます。

$\tan \varphi$ の式は絶対値つき。外して 2 乗するときに符号の場合分けを忘れると、余計な解が混ざります。

$45^{\circ }$ の軌跡は双曲線ですが、放物線と交わりません。判別式が正でも、2 つの曲線が出会うとは限らない^[1]。

$45^{\circ }$ の側も確かめます。

角度を 1 つ決めると軌跡が 1 本決まる。$90^{\circ }$ だけが直線で、残りはすべて双曲線。それがこの族の姿です。

出典