45 度で見ると双曲線が出る〜放物線の 2 接線の交点

放物線 $y^{2} = 4 x$ に 2 本の接線を引き、なす角を $4 5^{\circ}$ に保ったまま動かします。交点が描く跡は双曲線になる。

しかも $a = b$ の直角双曲線です。角を $9 0^{\circ}$ にすると準線という直線になり、角度を変えると図形の種類まで変わります。

接線を傾きで書く

$y^{2} = 4 p x$ の接線は $y = m x + \frac{p}{m}$ の形でした^[2]。点 $(h, k)$ を通るとして代入します。

$m^{2} h - mk + p = 0$

$m$ についての 2 次方程式。2 つの解が、 $(h, k)$ から引ける 2 本の接線の傾きです。

解と係数の関係から $m_{1} + m_{2} = \frac{k}{h}$ 、 $m_{1} m_{2} = \frac{p}{h}$ 。この 2 つを角度の条件に流しこむ。

なす角の条件

2 直線のなす角 $ϕ$ は、傾きから次のように出ます。

$tan ϕ = \frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}}$

$(m_{1} - m_{2})^{2} = (m_{1} + m_{2})^{2} - 4 m_{1} m_{2} = \frac{k ^{2}}{h ^{2}} - \frac{4 p}{h}$ なので、 $ϕ = 4 5^{\circ}$ なら次の等式になります。

$\frac{k ^{2}}{h ^{2}} - \frac{4 p}{h} = (1 + \frac{p}{h})^{2}$

両辺に $h^{2}$ を掛けて $k^{2} - 4 p h = (h + p)^{2}$ 。展開して整理します。

$(h + 3 p)^{2} - k^{2} = 8 p^{2}$

$x$ と $y$ に戻すと $\frac{( x + 3 p ) ^{2}}{8 p ^{2}} - \frac{y ^{2}}{8 p ^{2}} = 1$ 。中心が $(- 3 p, 0)$ で $a = b = 22 p$ の直角双曲線です^[3]。

$a$ と $b$ が等しくなるので、漸近線が直交する双曲線が出てきます。

$4 5^{\circ}$ という角度から $4 5^{\circ}$ 傾いた漸近線が出る。偶然のようで、式をたどると必然です。

例：頂点の接線を使う点

$p = 1$ として、点 $(0, 1)$ を調べます。 $(0 + 3)^{2} - 1 = 8$ なので、たしかに軌跡の上にある点。

接線の式に代入すると $- m + 1 = 0$ で $m = 1$ の 1 本しか出ません。 $h = 0$ なので $2$ 次の項が消えたためです。

消えたぶんは縦の直線。 $x = 0$ は頂点での接線なので、これがもう 1 本。

傾き $1$ の直線と縦の直線がなす角は $4 5^{\circ}$ 。条件を満たしています。

例：傾きが $2 \pm 1$ になる点

同じ放物線で点 $(1, 22)$ をとります。 $(1 + 3)^{2} - 8 = 8$ で、こちらも軌跡の上。

$m^{2} - 22 m + 1 = 0$ を解くと $m = 2 \pm 1$ 。 $2.414$ と $0.414$ です。

積は $(2 + 1) (2 - 1) = 1$ で、 $\frac{p}{h} = 1$ と合います。差は $2$ 。

$tan ϕ = \frac{2}{1 + 1} = 1$

$ϕ = 4 5^{\circ}$ 。数を入れても条件がきちんと成り立ちました。

直角にすると直線になる

$ϕ = 9 0^{\circ}$ では $tan ϕ$ が定まらないので、 $1 + m_{1} m_{2} = 0$ を直接使います。

$\frac{p}{h} = - 1$ から $h = - p$ 。軌跡は準線という 1 本の直線です^[4]。

双曲線が直線につぶれた、と見られます。角度を $9 0^{\circ}$ に近づけると、中心 $(- 3 p, 0)$ が遠ざかって曲線が平らになっていく。

どの角度でも双曲線になる

$tan ϕ = λ$ と置いて、一般の角で計算します。

$k^{2} - 4 p h = λ^{2} (h + p)^{2}$

$h$ と $k$ について整理すると、 $λ^{2} h^{2} - k^{2} + (2 λ^{2} p + 4 p) h + λ^{2} p^{2} = 0$ 。

判別式を見ます。 $B^{2} - 4 A C = 0 - 4 \times λ^{2} \times (- 1) = 4 λ^{2} > 0$ なので双曲線です^[1]。

$λ$ がどんな正の値でも符号は変わらない。 $9 0^{\circ}$ だけが $λ$ を持たず、例外として直線になります。

楕円では簡単な形にならない

同じ問題を楕円で考えると、事情が変わります。 $9 0^{\circ}$ のときだけが準円という円になり、ほかの角度では 4 次の曲線が出る。

軌跡の式は $(h^{2} + k^{2} - a^{2} - b^{2})^{2} tan^{2} ϕ = 4 (a^{2} k^{2} + b^{2} h^{2} - a^{2} b^{2})$ という形。左辺に 2 乗が入るため、次数が上がります。

$tan ϕ$ を大きくしていくと、左辺の括弧の中が $0$ に近づく。 $h^{2} + k^{2} = a^{2} + b^{2}$ 、つまり準円に戻ります^[4]。

放物線

どの角度でも双曲線。 $9 0^{\circ}$ だけ準線という直線に退化する

楕円

$9 0^{\circ}$ は準円という円。ほかの角度では 4 次の曲線になる

つまずきやすいところ

$h = 0$ のときは $2$ 次の項が消えるので、接線が 1 本しか出ません。縦の接線を別に数えます。

$tan ϕ$ の式は絶対値つき。外して 2 乗するときに符号の場合分けを忘れると、余計な解が混ざります。

$4 5^{\circ}$ の軌跡は双曲線ですが、放物線と交わりません。判別式が正でも、2 つの曲線が出会うとは限らない^[1]。

放物線 $y^{2} = 4 x$ の 2 本の接線が直角に交わる点の軌跡はどれですか。

双曲線 $\frac{( x + 3 ) ^{2}}{8} - \frac{y ^{2}}{8} = 1$
直線 $x = - 1$
円 $x^{2} + y^{2} = 1$

__RESULT__

$1 + m_{1} m_{2} = 0$ から $\frac{1}{h} = - 1$ で $h = - 1$ 。準線そのものになります。

$4 5^{\circ}$ の側も確かめます。

$y^{2} = 4 x$ の 2 接線が $4 5^{\circ}$ をなす点の軌跡について、正しいのはどれですか。

漸近線が直交する双曲線になる
焦点を中心とする円になる
もとの放物線と相似な放物線になる

__RESULT__

$a = b = 22$ の双曲線が出るので、漸近線の傾きは $\pm 1$ です。中心は $(- 3, 0)$ で、焦点でも頂点でもありません。

角度を 1 つ決めると軌跡が 1 本決まる。 $9 0^{\circ}$ だけが直線で、残りはすべて双曲線。それがこの族の姿です。

出典

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

Hyperbola. Wolfram MathWorld.

Director circle. Wikipedia.

$y^2 = 4x$ に 2 本の接線を引き、なす角を $45^\circ$ に保って動かすと、交点は $(x+3)^2/8 - y^2/8 = 1$ の上だけを進みます。漸近線が直交する双曲線です。接線を $y = mx + p/m$ と置き、通る点から $m$ の $2$ 次方程式を作って、解と係数の関係を $\tan\phi$ の式に流しこむだけ。角度をどう選んでも判別式は正のままで、$90^\circ$ のときだけ準線という直線につぶれます。