曲線上のどこがいちばん近いか？点との距離の最大・最小

楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の上を点が動きます。点 $\mathrm{A}(1,0)$ にいちばん近づくのはどこか。

答えは $(1.8,\pm 1.6)$ で、距離は $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。いちばん遠いのは $(-3,0)$ で距離 $4$ です。頂点ではない。

媒介変数で 2 次関数に落とす

$\mathrm{P}(3\cos t,2\sin t)$ と置きます。距離そのものより、2 乗のほうが扱いやすい。

$${\mathrm{AP}}^2=(3\cos t-1{)}^2+4{\sin }^{2}t$$

${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ で $\cos t$ にそろえます。

$$=9{\cos }^{2}t-6\cos t+1+4-4{\cos }^{2}t=5{\cos }^{2}t-6\cos t+5$$

$u=\cos t$ と置けば $f(u)=5u^2-6u+5$。ただの 2 次関数になりました。

大事なのは範囲です。$u=\cos t$ なので $-1\le u\le 1$。この範囲での最大最小を見ます。

軸が範囲の中にある場合

$f(u)=5u^2-6u+5$ の軸は $u=\frac{6}{10}=0.6$。範囲 $-1\le u\le 1$ の中にあります。

最小値は $f(0.6)=1.8-3.6+5=3.2$。距離は $\sqrt{3.2}=\frac{4}{\sqrt{5}}$ です。

$\cos t=0.6$ なので $x=3\times 0.6=1.8$、${\sin }^{2}t=0.64$ から $y=\pm 1.6$。

最大値は端で起こります。$f(-1)=5+6+5=16$、$f(1)=5-6+5=4$。大きいのは $u=-1$ 側で、距離は $4$。

その点は $(-3,0)$。$\mathrm{A}(1,0)$ から長軸の反対の端までの距離が $4$ で、たしかに合っています。

軸が範囲の外に出る場合

同じ楕円で $\mathrm{A}(2,0)$ にすると、式が変わります。

$${\mathrm{AP}}^2=(3\cos t-2{)}^2+4{\sin }^{2}t=5u^2-12u+8$$

軸は $u=1.2$ で、範囲 $-1\le u\le 1$ の外。範囲の中では右下がりのままです。

最小は右端 $u=1$ で $f(1)=5-12+8=1$、距離は $1$。点は $(3,0)$ で、長軸の端になります。

最大は左端 $u=-1$ で $f(-1)=5+12+8=25$、距離は $5$。

$\mathrm{A}$ が中心から遠いと、いちばん近い点が頂点に移る。軸の位置で答えが変わります。

幾何で見ると

いちばん近い点や遠い点では、$\mathrm{AP}$ が曲線の接線と直交します。

近づけたり遠ざけたりする向きに動けなくなる位置、と言いかえられる。接線方向に動いて距離が変わるうちは、まだ最小ではありません。

$\mathrm{A}(1,0)$ の例で確かめます。接点 $(1.8,1.6)$ での接線の傾きは $-\frac{4\times 1.8}{9\times 1.6}=-\frac{1}{2}$。

$\mathrm{AP}$ の傾きは $\frac{1.6}{0.8}=2$。積が $-1$ で直交しています。

放物線では場合分けが出る

$y^2=4x$ の上の点と $\mathrm{A}(a,0)$ の距離を考えます。$y^2=4x$ を代入して $x$ にそろえる。

$${\mathrm{AP}}^2=(x-a{)}^2+4x=x^2-2(a-2)x+a^2$$

範囲は $x\ge 0$。軸は $x=a-2$ です。

$a>2$ なら軸が範囲の中に入り、最小値は $a^2-(a-2{)}^2=4a-4$。距離は $2\sqrt{a-1}$。

$a\le 2$ なら軸が範囲の外なので、最小は $x=0$ の頂点。距離は $|a|$ になります。

$a=5$ で確かめます。$2\sqrt{4}=4$ で、点は $x=3$、$y=\pm 2\sqrt{3}$。$(3-5{)}^2+12=16$ で合っています。

最大がない場合

放物線や双曲線は無限に伸びるので、距離に上限がありません。最大は存在しない。

双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ と原点で見ます。$x^2=4+\frac{4y^2}{5}$ を代入する。

$${\mathrm{OP}}^2=x^2+y^2=4+\frac{9y^2}{5}$$

$y^2\ge 0$ なので ${\mathrm{OP}}^2\ge 4$。最小値は $2$ で、点は頂点 $(\pm 2,0)$ です。

$y$ を大きくすればいくらでも遠ざかるので、最大はなし。答えるときは「最大はなし」と書きます。

つまずきやすいところ

$u=\cos t$ の範囲 $-1\le u\le 1$ を落とす誤りが、いちばん多いところ。2 次関数の頂点をそのまま答えてしまいます。

$y^2$ を消すやり方でも同じ。$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ から $y^2=4-\frac{4x^2}{9}$ としたら、$-3\le x\le 3$ が付いてきます。

距離のまま扱わず、$2$ 乗で考える。根号のついた式の最大最小は、中身が最大のとき最大になります^[4]。

場合分けのほうも確かめます。

媒介変数か消去で文字を 1 つにし、範囲つきの 2 次関数に持ちこむ。軸が範囲の中か外かを見れば答えが出ます^[1][2][3]。

参考文献