法線をぜんぶ引くと星が浮かぶ（楕円の縮閉線）

楕円の法線を、接点を少しずつずらしながら何十本も引きます。線そのものは直線なのに、密になったところに星形の輪郭が浮かび上がる。

この輪郭を縮閉線といいます^[1]。楕円の縮閉線は、アステロイドと呼ばれる星形を縦横に伸ばした曲線です^[2]。

法線の方程式

点 $(x_1,y_1)$ での接線は $\frac{x{x}_1}{a^2}+\frac{y{y}_1}{b^2}=1$ で、傾きは $-\frac{b^2{x}_1}{a^2{y}_1}$ でした^[3]。

法線はこれと直交するので、傾きは逆数の符号を変えた $\frac{a^2{y}_1}{b^2{x}_1}$。点を通る条件と合わせると、次の形にまとまります。

$$\frac{a^{2}x}{x_1}-\frac{b^{2}y}{y_1}=a^2-b^2$$

右辺は $c^2$ です。$(x_1,y_1)$ を代入すると $a^2-b^2$ になり、たしかに通っている。

媒介変数で $(a\cos t,b\sin t)$ と書くと、$\frac{ax}{\cos t}-\frac{by}{\sin t}=c^2$ という形になります。

法線はどこも通らない

円なら法線は必ず中心を通ります。楕円には、そういう共通点がない。

法線が $x$ 軸を切る位置を見ます。$y=0$ とおくと $x=\frac{c^2\cos t}{a}$。

これは $e^2{x}_1$ にあたる点で、接点を選び直すたびに動きます。焦点でも中心でもない。

共通点を持たないぶん、法線どうしは少しずつずれた場所で交わります。交点が集まってできる曲線を縮閉線と呼ぶ。

例：2 本の法線を交わらせる

$a=5$、$b=4$ で、$t=30^{\circ }$ と $t=60^{\circ }$ の法線を作ります。

$t=60^{\circ }$ の接点は $(2.5,2\sqrt{3})$。法線は $10x-\frac{8y}{\sqrt{3}}=9$ になります。

$t=30^{\circ }$ の接点は $\left(\frac{5\sqrt{3}}{2},2\right)$ で、法線は $\frac{10x}{\sqrt{3}}-8y=9$。

連立して解くと交点は $(0.571,-0.713)$ あたり。楕円の外ではなく、中心の近くに落ちます。

2 つの $t$ を近づけると、交点は $t=45^{\circ }$ の縮閉線の点 $(0.636,-0.796)$ へ寄っていく。包絡線とはそういう極限のことです。

縮閉線の式

法線の族が包む曲線は、媒介変数で書けます^[2]。

$$x=\frac{c^2}{a}{\cos }^{3}t,y=-\frac{c^2}{b}{\sin }^{3}t$$

$t$ を消すと、$3$ 分の $2$ 乗が並ぶ式になります。

$$(ax{)}^{2/3}+(by{)}^{2/3}=(a^2-b^2{)}^{2/3}$$

$a=b$ の円なら右辺が $0$ になり、曲線は原点 1 点につぶれます。円の法線が中心で交わることと同じ。

$a$ と $b$ が離れるほど星は大きくなる。$c^2$ が全体の大きさを決めています。

尖った 4 つの点

$t=0^{\circ }$、$90^{\circ }$、$180^{\circ }$、$270^{\circ }$ で、縮閉線は尖ります。

尖点の座標は $\left(\pm \frac{c^2}{a},0\right)$ と $\left(0,\mp \frac{c^2}{b}\right)$。楕円の頂点と同じ向きに並びます。

$a=5$、$b=4$ なら $c^2=9$ で、尖点は $(\pm 1.8,0)$ と $(0,\mp 2.25)$。楕円よりずっと小さな星になる。

曲率半径との関係

縮閉線は、曲率中心が動いた跡でもあります^[1]。各点で楕円にいちばんよく寄りそう円の、中心の軌跡。

その円の半径が曲率半径です。楕円では次の形になります。

$$\rho =\frac{(a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t{)}^{3/2}}{ab}$$

長軸の端では $t=0$ なので $\rho =\frac{b^3}{ab}=\frac{b^2}{a}$。半直弦と同じ値です^[4]。

短軸の端では $\rho =\frac{a^3}{ab}=\frac{a^2}{b}$。こちらのほうが大きく、平らな部分ほど円が大きい。

例：$a=5$、$b=4$ で数える

$c^2=9$ なので、縮閉線は $x=\frac{9}{5}{\cos }^{3}t$、$y=-\frac{9}{4}{\sin }^{3}t$。

長軸の端 $(5,0)$ での曲率半径は $\frac{16}{5}=3.2$。曲率中心は $5-3.2=1.8$ の位置で、これが尖点と一致します。

短軸の端 $(0,4)$ では曲率半径が $\frac{25}{4}=6.25$。中心は $4-6.25=-2.25$ で、こちらも尖点。

長軸の端のほうが曲がりがきつく、寄りそう円が小さい。楕円のいちばん曲がった場所です。

円に戻す変換は使えない

楕円の面積の問題では、円を縦に縮める変換が効きました。ところが縮閉線では、この手が通りません。

縮める変換は角度を保たないためです。円の法線を写しても、楕円の法線にはならない。

直角が直角のまま写らないので、垂直に関わる話は円へ戻せません。面積と比だけが持ち帰れる量でした。

法線は何本引けるか

楕円の外の点から法線を引くと、何本引けるでしょうか。答えは点の位置で変わります。

縮閉線の内側にある点からは 4 本、外側からは 2 本。縮閉線が境目になっています。

包絡線をまたぐと接し方の数が変わる、という一般の話がここにも出てきます。星の内側では、法線が 4 通りの向きから届く。

双曲線と放物線でも

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の法線は $\frac{a^{2}x}{x_1}+\frac{b^{2}y}{y_1}=a^2+b^2$。符号が 2 か所で変わります。

放物線 $y^2=4px$ の法線は $y=mx-2pm-p{m}^3$ と、傾き $m$ で書くと便利です。

放物線の縮閉線は $27p{y}^2=4(x-2p{)}^3$ という半立方放物線。尖点は $(2p,0)$ の 1 か所だけです。

つまずきやすいところ

法線の傾きを $-\frac{a^2{y}_1}{b^2{x}_1}$ としてしまう誤りが多いところ。接線の傾きの逆数をとり、符号を変えます。

$x_1=0$ や $y_1=0$ では分母が $0$ になるので、頂点での法線は別に扱う。長軸上の点なら法線は $x$ 軸そのものです。

縮閉線と包絡線を同じ言葉で呼ばない。包絡線は族が包む曲線の総称で、縮閉線は法線の族に限った呼び名です。

曲率半径も確かめます。

接線が楕円を包み、法線が星を包む。線を 1 本ずつ引いて眺めると、式の裏にある形が見えてきます。

参考