二乗の和が変わらない｜楕円の共役直径とアポロニウスの定理

楕円の中心を通る弦を直径と呼びます。長軸と短軸は、そのうちの特別な 2 本。

軸でない直径を 1 本選ぶと、それと組になるもう 1 本が決まります。この組を共役直径といい、長さの 2 乗を足すと $a^2+b^2$ で一定になる。

平行な弦の中点が決める向き

傾き $m$ の平行な弦を何本も引き、それぞれの中点をとります。中点は 1 本の直線に並び、その傾き $m^{\prime }$ は次の関係を満たします。

$$m{m}^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}$$

この $m^{\prime }$ の向きの直径が、傾き $m$ の直径の相手。関係が対称なので、立場を入れかえても同じ式になります。

円に戻すと直交している

円 $x^2+y^2=a^2$ で同じ条件を書くと $m{m}^{\prime }=-1$。つまり直交です。

円を縦に $\frac{b}{a}$ 倍すると楕円になり、この変換は中点を中点に写します^[1]。直交していた 2 本の直径が、共役直径に化けたわけです。

角度は保たれないので、写った先で直角にはならない。共役という言葉は、直角の代わりに残った関係を指しています。

媒介変数で書くと $90^{\circ }$ ずれ

楕円上の点を $\mathrm{P}(a\cos t,b\sin t)$ とします。共役な側の端点は ${\mathrm{P}}^{\prime }(-a\sin t,b\cos t)$ です^[2]。

$t$ を $90^{\circ }$ 進めた点、と言い直せます。傾きを計算すると $\frac{b\sin t}{a\cos t}\times \frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b^2}{a^2}$ で、条件を満たしている。

半径の長さを $a^{\prime }$、$b^{\prime }$ とすると、それぞれ次のようになります。

$$\begin{array}{rl}{a}^{\prime 2}& =a^2{\cos }^{2}t+b^2{\sin }^{2}t\\ b^{\prime 2}& =a^2{\sin }^{2}t+b^2{\cos }^{2}t\end{array}$$

2 乗の和は動かない

上の 2 つを足します。${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ でまとまる。

$$a^{\prime 2}+b^{\prime 2}=a^2+b^2$$

$t$ が消えました。どの共役直径を選んでも、半径の 2 乗の和は同じ。アポロニウスの定理と呼ばれます。

平行四辺形の面積も一定

共役な 2 本の半径を 2 辺とする平行四辺形を作ります。面積は行列式で出る。

$$|x_{\mathrm{P}}{y}_{{\mathrm{P}}^{\prime }}-x_{{\mathrm{P}}^{\prime }}{y}_{\mathrm{P}}|=|ab{\cos }^{2}t+ab{\sin }^{2}t|=ab$$

やはり $t$ が消えました。4 つの半径ぶんに広げると、面積は $4ab$ で一定です。

この平行四辺形の 4 辺を接線に置きかえると、楕円に外接する平行四辺形になります。面積は $4ab$ のまま。

外接する図形のうち、面積が最小になるのは辺が軸に平行な長方形で、そのときも $4ab$ でした。共役な組で作るかぎり、傾けても面積は増えません。

例：$a=5$、$b=3$ で確かめる

$t=0$ なら $\mathrm{P}(5,0)$、${\mathrm{P}}^{\prime }(0,3)$。軸そのものです。$25+9=34$、面積は $15$。

$t=45^{\circ }$ では $\mathrm{P}(3.536,2.121)$、${\mathrm{P}}^{\prime }(-3.536,2.121)$ になります。

$a^{\prime 2}=12.5+4.5=17$、$b^{\prime 2}=12.5+4.5=17$。和は $34$ で一致しました。

面積は $|3.536\times 2.121-(-3.536)\times 2.121|=15$。こちらも $ab$ と同じ値です。

等しくなる 2 本

$t=45^{\circ }$ では $a^{\prime }=b^{\prime }=\sqrt{17}$。長さが等しい共役直径で、等共役直径と呼ばれます。

向きを見ます。$\mathrm{P}$ の座標が $\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ なので、方向は $(a,b)$。

これは楕円を囲む $2a\times 2b$ の長方形の対角線です。もう 1 本は $(-a,b)$ の向きで、こちらも対角線。

長さはどちらも $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$。$a$ と $b$ の二乗平均にあたる長さ。

共役直径から楕円を作り直す

共役な 2 半径の長さと、それが作る平行四辺形の面積が分かれば、もとの楕円が復元できます。

$a^2+b^2=a^{\prime 2}+b^{\prime 2}$ と $a^2{b}^2=(ab{)}^2$ の 2 つが手に入るので、$a^2$ と $b^2$ は次の方程式の解になります。

$$u^2-(a^{\prime 2}+b^{\prime 2})u+(ab{)}^2=0$$

さきほどの例なら $u^2-34u+225=0$。解くと $u=25,9$ で、$a=5$、$b=3$ が戻りました。

斜めから見た楕円の写真から、もとの形を割り出す。そういう場面で使える関係です。

双曲線の共役直径

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ でも同じ計算ができます。条件は $m{m}^{\prime }=\frac{b^2}{a^2}$ で、符号が正になる^[3]。

このとき片方の直線は双曲線を切り、もう片方は切らない。$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$ という共役双曲線のほうを切ります。

2 乗の和ではなく差が一定になり、$a^{\prime 2}-b^{\prime 2}=a^2-b^2$ という形の関係が残ります。

つまずきやすいところ

共役直径は直交しない。名前から直角を連想しやすいところですが、直交するのは軸の組だけです^[4]。

$m{m}^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}$ の右辺を $-1$ と書いてしまう誤りも多い。$a=b$ の円のときだけ $-1$ になります。

平行四辺形の面積は $a^{\prime }{b}^{\prime }$ ではない。挟む角が直角ではないので、$a^{\prime }{b}^{\prime }\sin \theta =ab$ という形になります。

面積のほうも確かめます。

円で直交していた 2 本が、つぶれた先でも組であり続ける。共役直径は、円の直交がどう生き残るかを見せてくれます。

参考文献