相加相乗平均は双曲線と直線が接する話だった

$x > 0$ のとき $x + \frac{1}{x} \geq 2$ 。等号が成り立つのは $x = 1$ のとき。

この不等式を図にすると、双曲線 $x y = 1$ と直線 $x + y = k$ が $k = 2$ でちょうど接する、という話になります。

直線を下ろしていく

$x y = 1$ の第 1 象限の枝を描き、傾き $- 1$ の直線 $x + y = k$ を重ねます。

$k$ が大きいと直線は右上にあり、双曲線と 2 点で交わる。 $k$ を小さくしていくと、2 つの交点が近づきます。

$k = 2$ でひとつに重なり、それより小さくすると直線は双曲線から離れる。交点がなくなります。

つまり $x + y$ がとれる値は $2$ 以上。これが相加相乗平均の不等式そのものです^[1]。

判別式で言い直す

$y = \frac{1}{x}$ を代入すると $x + \frac{1}{x} = k$ 。分母を払って整理します。

$x^{2} - k x + 1 = 0$

実数解を持つ条件は $D = k^{2} - 4 \geq 0$ 。 $x > 0$ から $k > 0$ なので $k \geq 2$ です。

$D = 0$ が「接する」にあたり、そこが等号成立。判別式が $0$ になる位置と、等号が成り立つ位置が一致しています。

不等式の等号が成り立つ場所は、直線が曲線に接する位置にあたります。

交わっているうちは、まだ $k$ を動かせる。動かせなくなったところが限界です。

一般の相加相乗

$x y = c$ （ $c > 0$ ）で同じことをします。 $x + y = k$ を代入すると $x^{2} - k x + c = 0$ 。

判別式は $k^{2} - 4 c \geq 0$ で $k \geq 2 c$ 。接点は $x = y = c$ です。

$x = a$ 、 $y = b$ と読みかえれば $\frac{a + b}{2} \geq ab$ 。相加平均と相乗平均の関係になりました。

積が一定という条件が双曲線、和を測る道具が直線。2 つの図形の位置関係が、そのまま不等式になっています。

傾きを変えると係数が入る

直線を $p x + q y = k$ にします。 $x y = 1$ に接する条件を出す。

$y = \frac{1}{x}$ を代入して $p x + \frac{q}{x} = k$ 、分母を払って $p x^{2} - k x + q = 0$ 。

判別式 $k^{2} - 4 pq = 0$ から $k = 2 pq$ 。これが $p x + q y$ の最小値です。

$p = 2$ 、 $q = 8$ なら $216 = 8$ 。実際 $2 x + \frac{8}{x} \geq 8$ で、等号は $x = 2$ のとき。 $4 + 4 = 8$ で合っています。

例：条件つきの最小

$x > 0$ 、 $y > 0$ 、 $x y = 4$ のとき $3 x + y$ の最小値を求めます。

$3 x$ と $y$ の積は $3 x y = 12$ で一定。相加相乗から $3 x + y \geq 212 = 43$ です。

等号は $3 x = y$ のとき。 $x y = 4$ と連立すると $3 x^{2} = 4$ で $x = \frac{2}{3}$ 、 $y = 23$ 。

図でいえば、双曲線 $x y = 4$ に直線 $3 x + y = k$ を近づけ、接する位置を探したことになります。

負のほうの枝

$x < 0$ では $x + \frac{1}{x} \leq - 2$ になります。不等号の向きが逆になる。

第 3 象限の枝と、直線 $x + y = k$ が $k = - 2$ で接する。今度は $k$ の最大値が $- 2$ になります。

$x^{2} - k x + 1 = 0$ の判別式は同じ $k^{2} - 4 \geq 0$ ですが、 $x < 0$ から $k < 0$ が付く。 $k \leq - 2$ です。

符号の場合分けを忘れやすいところですが、図を見れば枝が 2 本あることがすぐ分かります^[2]。

楕円なら別の不等式が出る

同じ見方を楕円でやります。 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ に直線 $x + y = k$ を近づける。

接する条件から $k = \pm a^{2} + b^{2}$ 。だから曲線上では $∣ x + y ∣ \leq a^{2} + b^{2}$ が成り立ちます。

これはコーシー・シュワルツの不等式にあたる形です。双曲線からは相加相乗、楕円からは別の不等式が出てくる。

不等式を「直線が曲線に届く限界」として読む。この見方は、曲線が変わっても使えます^[3]。

双曲線

x y = c

積が一定。 $x + y \geq 2 c$ が出る

楕円

$2$ 乗の和が一定。 $∣ x + y ∣ \leq a^{2} + b^{2}$ が出る

つまずきやすいところ

$x > 0$ という条件を落とすと、 $k \geq 2$ という結論が出せません。判別式だけでは $k \leq - 2$ の側も残ってしまいます。

等号成立の値を書き忘れるのも多い誤り。接点の座標を求めるところまでが答えです。

「和が一定なら積が最大」という別の話と混ざりやすいところ。こちらは直線を固定して双曲線を動かす形で、役割が入れかわっています^[4]。

$x > 0$ のとき $4 x + \frac{9}{x}$ の最小値はどれですか。

$12$
$6$
$13$

__RESULT__

$4 x \times \frac{9}{x} = 36$ で一定なので $236 = 12$ です。等号は $4 x = \frac{9}{x}$ 、つまり $x = \frac{3}{2}$ のとき。

図としての意味も確かめます。

相加相乗平均の等号が成り立つとき、図の上では何が起きていますか。

直線が双曲線と 2 点で交わる
直線が双曲線に接する
直線が双曲線の漸近線と重なる

__RESULT__

判別式が $0$ になる位置なので、交点が 1 つに重なります。2 点で交わっているうちは、まだ $k$ を動かせます。

不等式を式のまま眺めると覚える対象になりますが、図にすると「直線がどこまで下りられるか」という 1 つの問いに変わります。

参考文献

Hyperbola. Wolfram MathWorld.

Daniel Perrin. *Un memento sur les coniques*. Université Paris-Saclay.

Jean-Marc Decauwert. *Coniques*. Maths en Ligne, Université Joseph Fourier, Grenoble.

*Kegelschnitte*. linalg.ch.

$x > 0$ で $x + 1/x \geq 2$。これは $xy = 1$ に $x + y = k$ を近づけ、$k = 2$ で接するという図です。代入して $x^2 - kx + 1 = 0$ の判別式が $0$ になる位置が、そのまま等号成立。傾きを変えて $px + qy = k$ にすると最小値は $2\sqrt{pq}$ になります。$x < 0$ の枝では向きが逆になること、同じ見方を楕円に当てるとコーシー・シュワルツ側の不等式が出ることまで。