弦の中点が描く軌跡〜楕円と放物線を直線で切る高校数学

楕円を直線で切ると、 $2$ つの交点ができます。その中点は、直線を平行に動かすとどこを動くか。答えは直線になります。

直線を平行に動かすと、 $2$ つの交点は大きく動きます。それでも中点は、原点を通る $1$ 本の直線から外れません。

解と係数の関係で出す

$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1$ と $y = x + k$ の交点の中点を求めます。連立して整理した式は次のとおりです。

$5 x^{2} + 8 k x + 4 k^{2} - 4 = 0$

$2$ 解を $α$ , $β$ とすると、和は解と係数の関係から $α + β = - \frac{8 k}{5}$ 。

中点の $x$ 座標はその半分です。

$x = - \frac{4 k}{5}$

$y$ 座標は直線の式に入れて $y = x + k = - \frac{4 k}{5} + k = \frac{k}{5}$ 。

$k$ を消します。 $x = - \frac{4 k}{5}$ から $k = - \frac{5 x}{4}$ 、これを $y$ に入れると

$y = \frac{1}{5} (- \frac{5 x}{4}) = - \frac{x}{4}$

中点は直線 $y = - \frac{x}{4}$ の上を動きます。原点を通る直線でした。

$2$ 解を実際に求める必要はありません。和だけで足ります。

動く範囲を押さえる

$y = - \frac{x}{4}$ の全体が軌跡になるわけではありません。交点が $2$ 個ある範囲だけです。

判別式から $- 5 < k < 5$ 。 $k = - \frac{5 x}{4}$ を入れると

$- 5 < - \frac{5 x}{4} < 5 ⟹ - \frac{4 5}{5} < x < \frac{4 5}{5}$

答えは「直線 $y = - \frac{x}{4}$ のうち、 $∣ x ∣ < \frac{4 5}{5}$ の部分」。範囲を書かないと減点されます。

傾きを一般にする

傾き $m$ の平行な弦の中点は、どこを動くか。 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ と $y = m x + k$ で計算します。

代入して分母を払うと $b^{2} x^{2} + a^{2} (m x + k)^{2} = a^{2} b^{2}$ 、整理して

$(b^{2} + a^{2} m^{2}) x^{2} + 2 a^{2} mk x + a^{2} (k^{2} - b^{2}) = 0$

和は $- \frac{2 a ^{2} mk}{b ^{2} + a ^{2} m ^{2}}$ なので、中点の $x$ 座標は $- \frac{a ^{2} mk}{b ^{2} + a ^{2} m ^{2}}$ 。

$y$ 座標は $m x + k$ に入れて $\frac{b ^{2} k}{b ^{2} + a ^{2} m ^{2}}$ 。 $2$ つの比をとると $k$ が消えます。

$\frac{y}{x} = - \frac{b ^{2}}{a ^{2} m}$

つまり中点は $y = - \frac{b ^{2}}{a ^{2} m} x$ の上。傾き $m$ の弦の中点は、傾き $- \frac{b ^{2}}{a ^{2} m}$ の直線に乗ります。

傾きの積が一定になる

いま出た関係を書き直します。弦の傾きを $m$ 、中点が乗る直線の傾きを $m^{'}$ とすると

$m m^{'} = - \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$

積が $m$ によらない定数です。この関係にある $2$ 本の直径を共役直径といいます。

円の場合は $a = b$ なので $m m^{'} = - 1$ 。弦の中点が乗る直線は、弦と直交します。円の弦の垂直二等分線が中心を通る、というおなじみの事実がこれにあたります。

青い直径を回すと、灰色の直径が連動して動きます。 $2$ 本の傾きの積が変わらないためです。円なら $2$ 本はつねに直交しますが、楕円では角度が変わります。

中点が指定されている問題

「中点が $(1, 1)$ である弦の方程式を求めよ」という形もよく出ます。 $\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ で試します。

$2$ 交点を $(x_{1}, y_{1})$ , $(x_{2}, y_{2})$ とし、それぞれ曲線上にあるので

$\frac{x _{1}^{2}}{8} + \frac{y _{1}^{2}}{4} = 1, \frac{x _{2}^{2}}{8} + \frac{y _{2}^{2}}{4} = 1$

引き算します。

$\frac{( x _{1} + x _{2} ) ( x _{1} - x _{2} )}{8} + \frac{( y _{1} + y _{2} ) ( y _{1} - y _{2} )}{4} = 0$

中点が $(1, 1)$ なので $x_{1} + x_{2} = 2$ , $y_{1} + y_{2} = 2$ 。傾きは $m = \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}}$ です。

$\frac{2}{8} + \frac{2 m}{4} = 0 ⟹ m = - \frac{1}{2}$

弦は $(1, 1)$ を通り傾き $- \frac{1}{2}$ なので $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 1)$ 、整理して $x + 2 y = 3$ です。

$2$ 式の差をとるこの手は、連立して判別式を計算するより速い。中点が数で与えられているときは必ず使えます。

双曲線や放物線でも

双曲線 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ でも同じ計算が通ります。符号だけ変わって

$m m^{'} = \frac{b ^{2}}{a ^{2}}$

積が正になるので、 $2$ 本の直径は同じ側へ傾きます。

放物線 $y^{2} = 4 p x$ なら、差をとる手が効きます。 $y_{1}^{2} - y_{2}^{2} = 4 p (x_{1} - x_{2})$ から

$(y_{1} + y_{2}) \cdot \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}} = 4 p$

中点の $y$ 座標を $y_{0}$ とすると $y_{1} + y_{2} = 2 y_{0}$ なので $m = \frac{2 p}{y _{0}}$ 。

傾きが中点の $y$ 座標だけで決まります。中点が同じ高さにある弦は、すべて同じ傾き。裏を返せば、平行な弦の中点は同じ高さに並ぶ、つまり軌跡が $x$ 軸に平行な直線になります。

平行な弦を引くと、交点は大きく動くのに中点は 1 本の直線から外れません。解と係数の関係で和だけを使えば、2 解を求めずに中点が出ます。弦の傾きと中点の乗る直線の傾きは積が -b²/a² で一定。中点が数で指定されたときは 2 式の差をとるほうが速く、放物線では中点の高さだけで傾きが決まります。