弦の中点が描く軌跡〜楕円と放物線を直線で切る高校数学

楕円を直線で切ると、$2$ つの交点ができます。その中点は、直線を平行に動かすとどこを動くか。答えは直線になります。

直線を平行に動かすと、$2$ つの交点は大きく動きます。それでも中点は、原点を通る $1$ 本の直線から外れません。

解と係数の関係で出す

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と $y=x+k$ の交点の中点を求めます。連立して整理した式は次のとおりです。

$$5x^2+8kx+4k^2-4=0$$

$2$ 解を $\alpha$, $\beta$ とすると、和は解と係数の関係から $\alpha +\beta =-\frac{8k}{5}$。

中点の $x$ 座標はその半分です。

$$x=-\frac{4k}{5}$$

$y$ 座標は直線の式に入れて $y=x+k=-\frac{4k}{5}+k=\frac{k}{5}$。

$k$ を消します。$x=-\frac{4k}{5}$ から $k=-\frac{5x}{4}$、これを $y$ に入れると

$$y=\frac{1}{5}\left(-\frac{5x}{4}\right)=-\frac{x}{4}$$

中点は直線 $y=-\frac{x}{4}$ の上を動きます。原点を通る直線でした。

$2$ 解を実際に求める必要はありません。和だけで足ります。

動く範囲を押さえる

$y=-\frac{x}{4}$ の全体が軌跡になるわけではありません。交点が $2$ 個ある範囲だけです。

判別式から $-\sqrt{5}<k<\sqrt{5}$。$k=-\frac{5x}{4}$ を入れると

$$-\sqrt{5}<-\frac{5x}{4}<\sqrt{5}⟹-\frac{4\sqrt{5}}{5}<x<\frac{4\sqrt{5}}{5}$$

答えは「直線 $y=-\frac{x}{4}$ のうち、$|x|<\frac{4\sqrt{5}}{5}$ の部分」。範囲を書かないと減点されます。

傾きを一般にする

傾き $m$ の平行な弦の中点は、どこを動くか。$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ と $y=mx+k$ で計算します。

代入して分母を払うと $b^2{x}^2+a^2(mx+k{)}^2=a^2{b}^2$、整理して

$$(b^2+a^2{m}^2)x^2+2a^{2}mkx+a^2(k^2-b^2)=0$$

和は $-\frac{2a^{2}mk}{b^2+a^2{m}^2}$ なので、中点の $x$ 座標は $-\frac{a^{2}mk}{b^2+a^2{m}^2}$。

$y$ 座標は $mx+k$ に入れて $\frac{b^{2}k}{b^2+a^2{m}^2}$。$2$ つの比をとると $k$ が消えます。

$$\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^{2}m}$$

つまり中点は $y=-\frac{b^2}{a^{2}m}x$ の上。傾き $m$ の弦の中点は、傾き $-\frac{b^2}{a^{2}m}$ の直線に乗ります。

傾きの積が一定になる

いま出た関係を書き直します。弦の傾きを $m$、中点が乗る直線の傾きを $m^{\prime }$ とすると

$$m{m}^{\prime }=-\frac{b^2}{a^2}$$

積が $m$ によらない定数です。この関係にある $2$ 本の直径を共役直径といいます。

円の場合は $a=b$ なので $m{m}^{\prime }=-1$。弦の中点が乗る直線は、弦と直交します。円の弦の垂直二等分線が中心を通る、というおなじみの事実がこれにあたります。

青い直径を回すと、灰色の直径が連動して動きます。$2$ 本の傾きの積が変わらないためです。円なら $2$ 本はつねに直交しますが、楕円では角度が変わります。

中点が指定されている問題

「中点が $(1,1)$ である弦の方程式を求めよ」という形もよく出ます。$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$ で試します。

$2$ 交点を $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ とし、それぞれ曲線上にあるので

$$\frac{x_1^2}{8}+\frac{y_1^2}{4}=1,\frac{x_2^2}{8}+\frac{y_2^2}{4}=1$$

引き算します。

$$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{8}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4}=0$$

中点が $(1,1)$ なので $x_1+x_2=2$, $y_1+y_2=2$。傾きは $m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ です。

$$\frac{2}{8}+\frac{2m}{4}=0⟹m=-\frac{1}{2}$$

弦は $(1,1)$ を通り傾き $-\frac{1}{2}$ なので $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$、整理して $x+2y=3$ です。

$2$ 式の差をとるこの手は、連立して判別式を計算するより速い。中点が数で与えられているときは必ず使えます。

双曲線や放物線でも

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ でも同じ計算が通ります。符号だけ変わって

$$m{m}^{\prime }=\frac{b^2}{a^2}$$

積が正になるので、$2$ 本の直径は同じ側へ傾きます。

放物線 $y^2=4px$ なら、差をとる手が効きます。$y_1^2-y_2^2=4p(x_1-x_2)$ から

$$(y_1+y_2)\cdot \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=4p$$

中点の $y$ 座標を $y_0$ とすると $y_1+y_2=2y_0$ なので $m=\frac{2p}{y_0}$。

傾きが中点の $y$ 座標だけで決まります。中点が同じ高さにある弦は、すべて同じ傾き。裏を返せば、平行な弦の中点は同じ高さに並ぶ、つまり軌跡が $x$ 軸に平行な直線になります。