単項式を数えると次元も次数も出てくる｜代数幾何のヒルベルト多項式

射影多様体 $V\subseteq {\mathbb{P}}^n$ の斉次座標環を、次数ごとに切って次元を数えます。

$$H(V,m)={\dim }_k{k}_{\mathrm{hom}}[V{]}_m$$

この数列は、$m$ が大きいところで必ず 1 つの多項式に乗ります^[1]。乗ったあとの多項式から、次元も次数も算術種数も読めてしまう。

数えるだけの操作から、図形の量が 3 つまとめて出てくる。ヒルベルト多項式が便利なのは、この一点のためです。

ヒルベルト関数

$k_{\mathrm{hom}}[V{]}_m$ は、$m$ 次の斉次多項式を $V$ の上で見たときに残るものの空間です。$V$ の上で消える多項式のぶんだけ小さくなります。

$$k_{\mathrm{hom}}[V{]}_m=k[x_0,\dots ,x_n{]}_m/I(V{)}_m$$

つまり $H(V,m)$ は、$m$ 次の斉次多項式の空間の中で「$V$ の上で消えるもの」がどれだけ余次元を持つかを測っています^[1]。

$V$ が大きいほど、消える多項式は少なくなる。$H(V,m)$ は $V$ の大きさを $m$ ごとに数値化した列になります。

例：射影空間そのもの

$V={\mathbb{P}}^n$ なら $I(V)=(0)$ なので、$m$ 次の単項式の個数をそのまま数えます^[1]。

$$H({\mathbb{P}}^n,m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{n}\right)=\frac{(m+n)\cdots (m+1)}{n!}$$

$n=2$、$m=4$ で確かめます。$x_0,x_1,x_2$ の 4 次単項式は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 個で、指数の組を三角形に並べると数えやすい。

$m$ について $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+2}{2}\right)=(m^2+3m+2)/2$ なので、はじめから多項式です。射影空間では例外を含めてすべての $m$ で一致します。

大きい m では多項式に乗る

一般の $V$ では、小さい $m$ での値が暴れます。それでも先のほうは必ず多項式になります^[1][3]。

有理数係数の多項式 $P(V,T)$ がただ 1 つ存在して、十分大きい $m$ で $P(V,m)=H(V,m)$ が成り立つ。これをヒルベルト多項式といいます。

$$P(V,T)=\frac{\delta }{d!}{T}^d+(\text{より低い次数の項})$$

ここで $d$ は $V$ の次元、$\delta$ は $V$ の次数です。次元は多項式の次数として、次数は先頭の係数に $d!$ を掛けた値として現れます^[2][5]。

整数値をとる多項式なので、係数は整数とは限りません。$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{T+n}{n}\right)$ のように、二項係数の形で書くと見通しがよくなります。

例：点の集まり

$V$ が ${\mathbb{P}}^2$ の中の相異なる $\delta$ 点なら、大きい $m$ で $H(V,m)=\delta$ です^[1]。

$m$ 次の斉次多項式を $\delta$ 個の点で評価する写像を考えると、$m$ が十分大きいところでは全射になります。像は $k^{\delta }$ で、次元はちょうど $\delta$。

小さい $m$ では話が変わります。3 点が同一直線上にあれば $H(V,1)=2$、そうでなければ $H(V,1)=3$ です。

配置の情報は最初の数項に出て、そのあと消えます。ヒルベルト多項式が拾うのは、点の個数だけです。

例：平面曲線

${\mathbb{P}}^2$ の中の $\delta$ 次曲線 $V=V(F)$ を考えます。$I(V{)}_m$ は $F$ で割り切れる $m$ 次多項式の全体なので、次元は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-\delta +2}{2}\right)$ です^[1]。

$$H(V,m)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+2}{2}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-\delta +2}{2}\right)=\delta m-\frac{\delta (\delta -3)}{2}$$

右辺の計算は展開するだけで出ます。$m\ge \delta$ で成り立ち、実際にはもう少し手前から一致します^[2]。

$$P(V,T)=\delta T-\frac{\delta (\delta -3)}{2}$$

次数は $1$ なので次元は $1$、先頭の係数は $\delta$ なので次数は $\delta$ です。曲線の次数が、定義多項式の次数とちゃんと一致しました。

数列が多項式に乗る様子

$\delta =4$ の平面曲線で数えます。$H(V,m)$ は $1,3,6,10,14,18,\dots$ と進み、$P(V,T)=4T-2$ は $-2,2,6,10,14,\dots$ です。

はじめの 2 項だけが外れ、$m\ge 2$ からは完全に重なります。

外れる範囲の広さにも意味があります。どこから一致し始めるかを測る量が正則性で、計算の手間を見積もるときに効いてきます。

算術種数

多項式に $T=0$ を入れた値から、もう 1 つの不変量が出ます^[4]。

$$p_a(V)=(-1{)}^d(P(V,0)-1)$$

$d$ は $V$ の次元です。この $p_a$ を算術種数といいます。

平面 $\delta$ 次曲線で計算します。$P(V,0)=-\delta (\delta -3)/2$ なので、符号を反転して $1$ を引く。

$$p_a=\frac{\delta (\delta -3)}{2}+1=\frac{(\delta -1)(\delta -2)}{2}$$

直線と円錐曲線では $0$、3 次曲線では $1$、4 次曲線では $3$ です。3 次曲線で $1$ が出るところが、楕円曲線が種数 $1$ である事実に対応します。

なめらかな平面曲線では、この値が位相的な種数、つまり穴の個数と一致します。特異点があると 2 つはずれ、算術種数のほうが大きくなる。

コホモロジーで言い直す

ヒルベルト多項式は、層コホモロジーのオイラー標数としても書けます^[6]。

$$P(m)=\chi (V,{\mathcal{O}}_V(m))=\sum _i(-1{)}^i{\dim }_k{H}^i(V,{\mathcal{O}}_V(m))$$

大きい $m$ では高次のコホモロジーが消えるので、$H^0$ の次元だけが残ります。それが最初に数えた $H(V,m)$ にあたります。

$m=0$ と置くと $P(0)=\chi (V,{\mathcal{O}}_V)$ になり、算術種数の定義がオイラー標数の言葉に戻る。数え上げと双対性が、この式でつながります。

埋め込みに依存する

ヒルベルト多項式は $V$ だけでは決まりません。斉次座標環が埋め込みで変わるので、多項式も変わります^[1]。

${\mathbb{P}}^1$ を $\delta$ 次のヴェロネーゼ写像で ${\mathbb{P}}^{\delta }$ へ入れると、$P(V,T)=\delta T+1$ です。次元は $1$ のまま、次数だけが $\delta$ に変わります。

算術種数は $p_a=-(1-1)=0$ で、どの $\delta$ でも $0$ のままです。次数は埋め込みで動くのに、種数は動かない。

この違いが、あとで内在的な量と外在的な量を分ける目印になります。

何に使うか

族の中で図形を動かしたとき、ヒルベルト多項式は変わりません。平坦な族に沿って一定に保たれるためです。

こうしてできる空間がヒルベルトスキームです。「次数 3、種数 1 の曲線をすべて集めた空間」のような対象を、多項式を固定することで切り出せる^[6]。

数え上げから始めた不変量が、図形を分類する道具として効いてくる。ヒルベルト多項式が基本的な量とされるのは、この使われ方のためです。

よくある誤り

参考文献