分離的な射とは何か？ハウスドルフのかわりに対角線を見る

ザリスキ位相では、異なる 2 点を交わらない開集合で分けられません。開集合が大きすぎるためです。

ハウスドルフ性をそのまま課すと、ほとんどのスキームが落ちます。実際、位相としてハウスドルフになるスキームは空か $0$ 次元しかありません^[5]。

そこで条件の書き方を変えます。ハウスドルフ性には対角線を使った言いかえがあり、そちらならスキームでも意味を持ちます^[7]。

ハウスドルフを対角線で言う

位相空間 $Y$ がハウスドルフであることと、対角線が $Y\times Y$ の中で閉じていることは同値です^[1]。

$$\Delta =\{(y,y)\mid y\in Y\}\subseteq Y\times Y$$

証明は短い。$(y_1,y_2)$ が対角線の外にあるとき、その点を含む長方形の開集合が対角線と交わらないことと、$y_1$ と $y_2$ が開集合で分けられることが同じ意味になります。

分ける、という言い方をやめて、閉じている、という言い方に直せた。閉じているかどうかなら、ザリスキ位相でも問題なく判定できます。

対角射

スキームの場合、積のかわりにファイバー積を使います。$f:X\to S$ に対し、次の射がただ 1 つ定まります^[2]。

$${\Delta }_{X/S}:X⟶X{\times }_{S}X$$

2 つの射影と合成すると、どちらも恒等写像に戻る射です。これを対角射といいます。

対角射はいつでも埋め込みになります^[2]。ただし閉埋め込みとは限りません。この差が分離性です。

$f$ が分離的であるとは、${\Delta }_{X/S}$ が閉埋め込みになることをいいます^[2][5][7]。埋め込みであることは決まっているので、像が閉集合かどうかだけを見ればよい。

アフィンなら必ず分離的

$\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}R$ を考えます。対角射に対応する環準同型は、テンソル積から元の環への掛け算の写像です。

$$A{\otimes }_{R}A⟶A,a\otimes b⟼ab$$

これは全射です。全射な環準同型は閉埋め込みを与えるので、アフィンスキームの射はいつでも分離的になります^[5]。

分離的でない例は、貼り合わせのところにしか出てきません。1 枚のアフィンで済むうちは、問題は起きない。

例：原点が 2 つある直線

アフィン直線を 2 枚用意します。$\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x]$ と $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[y]$ です。

原点を除いた部分 $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[x,1/x]$ と $\mathrm{Spec}\mathbb{Z}[y,1/y]$ を、$x\mapsto y$ で貼ります^[1]。

できあがるのは、原点だけが 2 つある直線です。原点以外はぴったり重なっているのに、原点だけが分かれて残ります^[6]。

この直線は分離的ではありません。対角射の像には原点が 2 つ含まれるのに、閉包には 4 つ現れるためです^[5]。

貼り方を変えると結果も変わります。同じ 2 枚を $x\mapsto 1/y$ で貼れば、できるのは射影直線で、こちらは分離的です^[1]。

判定のしかた

定義に戻らずに済ませる方法もあります。アフィン開集合の組で確かめる形です^[3]。

$f:X\to S$ が分離的であることは、$S$ の同じ点の上にある任意の 2 点 $x_1,x_2$ について、次を満たすアフィン開集合 $U\ni x_1$、$V\ni x_2$ がとれることと同値です。

原点が 2 つある直線で試すと、2 つ目が破れます。$U\cap V$ は原点を除いた直線で、その上の環は $\mathbb{Z}[x,1/x]$ です。ところが $U$ と $V$ の上の環はどちらも $\mathbb{Z}[x]$ にあたるので、$1/x$ が像に入りません。

分離的だと何が言えるか

まず切断が閉埋め込みになります^[4]。$f\circ s=\mathrm{id}$ を満たす $s:S\to X$ があれば、$s$ の像は閉集合です。

合成についても素直です。$g\circ f$ が分離的なら $f$ も分離的になる^[8]。手前の射だけをとり出しても性質が残ります。

基底変換でも保たれます。分離的な射を引き戻せば、また分離的な射が出る^[5]。

一意性の主張も使えます。分離的な射のあいだでは、稠密な部分で一致する 2 つの射が全体で一致します。極限が 2 つに割れないという性質が、この形で効いてきます。

付値による判定

もう 1 つの判定法が付値環を使うものです^[5]。離散付値環の $\mathrm{Spec}$ から $X$ への持ち上げを考えます。

一般点だけを与えたときに、閉点への延長がたかだか 1 通りしかないなら分離的です。原点が 2 つある直線では、この延長が 2 通りできてしまう。

「極限がたかだか 1 つ」という言い方が、そのまま条件になっている。固有性の判定に使う条件は、ここを「ちょうど 1 つ」に強めたものです。

よくある誤り

参考文献