族が連続に動くとはどういうことか（平坦射とファイバーの重さ）

図形の族をパラメータに沿って動かすとき、ファイバーが急に痩せたり太ったりしないでほしい。この「連続に動く」を代数の条件に直したものが平坦性です^[1]。

条件そのものは、拍子抜けするほど代数的です。テンソル積が単射を保つ、と書くだけで済みます。

$$M\hookrightarrow N⟹B{\otimes }_{A}M\hookrightarrow B{\otimes }_{A}N$$

幾何の言葉に翻訳したときに何が保証されるのか。そこを追うと、この定義の狙いが見えてきます。

テンソル積は完全とは限らない

$A$ 加群の完全列に $B$ をテンソルすると、右側は生き残りますが左端の単射は壊れることがあります^[1]。

典型例を 1 つ見ます。$k[X]$ の完全列に $k=k[X]/(X)$ をテンソルします。

$$0\to k[X]\stackrel{\times X}{\to }k[X]\to k[X]/(X)\to 0$$

$X$ を掛ける写像は単射ですが、$k$ をテンソルすると $X$ は $0$ になるので、零写像に変わります^[1]。

$$k\stackrel{0}{\to }k\to k\to 0$$

単射が零写像に落ちた。この崩れが起きない加群を平坦といいます^[3][5]。

平坦になるもの

自由加群は平坦です。テンソル積が直和と交換し、直和をとっても完全性が保たれるためです^[1]。

局所化も平坦です。分母を許す操作は、完全列を完全列のまま送ります^[5]。

有限表示なら、平坦であることと射影的であることが一致します^[4]。単項イデアル整域の上では、平坦であることとねじれがないことが同じになります。

射の平坦性

スキームの射 $f:X\to S$ が平坦であるとは、どの点でも局所環の写像が平坦になることをいいます^[2]。

$${\mathcal{O}}_{S,f(x)}⟶{\mathcal{O}}_{X,x}$$

局所環だけを見ればよいのは、平坦性が素イデアルごとの条件に落ちるためです^[1]。すべての素イデアルで局所化が平坦なら、もとの写像も平坦になります。

開埋め込みは平坦です。平坦な射の合成も平坦で、基底変換をしても平坦のまま残ります^[2]。

ファイバーの重さが変わらない

平坦性が効く場面を、族として見ます。次の図は 2 つの族を並べたものです。

左は $x^2=t$ で決まる族です。$t\ne 0$ では 2 点、$t=0$ では 1 点に見えますが、その点の局所環は $k[x]/(x^2)$ で長さが 2 あります。重さは動きません。

右は原点 1 点だけをとり出した族です。原点の上では重さが 1、そこを外れると $0$ に落ちます。急に消える族は平坦ではありません。

有限な射については、この見方がそのまま判定になります。連結成分ごとに、重複度を数えたファイバーの点の個数が一定であることと、平坦であることが同値です^[1]。

次元と、なめらかな場合

局所ネーター的な状況では、次元が足し算になります^[3]。

$${\dim }_{x}X={\dim }_{f(x)}S+{\dim }_x{X}_{f(x)}$$

底の次元とファイバーの次元を足すと、全体の次元になる。平坦でない射では、この式が崩れます。

なめらかな多様体どうしの全射については、判定がさらに簡単になります。すべてのファイバーの次元が等しいことと、平坦であることが同値です^[1]。

ブローアップがその例です。原点以外では 1 対 1 なのに、原点の上だけ $1$ 次元の例外因子が乗ります^[3]。次元が飛ぶので、平坦にはなりません。

開写像になる

平坦で局所有限表示な射は、普遍的に開写像です^[2]。像が開集合になり、基底変換してもそのまま。

多様体の平坦な射についても同じことが言えます^[1]。閉じることを保証するのが固有性なら、開くことを保証するのが平坦性です。

一般化を持ち上げる性質もあります^[2]。行き先で点が一般化されたとき、もとの側でも対応する一般化がとれる。降下定理と呼ばれる主張が、この形で書けます^[1]。

忠実平坦

平坦であって、しかも $\mathrm{Spec}$ の写像が全射になるものを忠実平坦といいます^[1]。

$B{\otimes }_{A}M=0$ から $M=0$ が従う、という条件でも同じことです。情報を落とさずに係数をとりかえられる、と読めます。

局所環のあいだの平坦な局所準同型は、いつでも忠実平坦になります^[1]。上へ持ち上げて調べた結果を、下へ戻せる。降下の議論はここを土台にしています。

ヒルベルト多項式が動かない

平坦で固有な族については、ファイバーのヒルベルト多項式が一定になります^[3]。

同じ多項式を持つ図形を集めてヒルベルトスキームを作れるのは、この一定性のおかげです。平坦性は、族という言葉に意味を与える最低条件になっています。

平坦性は一般的な性質でもあります。適当な条件のもとで、底のある空でない開集合の上では平坦になる^[3]。壊れるのは、せまい閉集合の上だけです。

よくある誤り

参考文献